Що нового на сайтіФотографіїЛічильникФорумФайловий архівСторінки
Сергій Петрович Негода
Що нового на сайті
Про мене
Фотографії
Файловий архів
Блог
Форум
Сторінки
Чат
Лічильник
Клієнти
Мітки
Опитування
Цікаві сайти

Відвідувачі

Календар
<
Квітень 2014
>
ПнВтСрЧтПтСбНд
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
282930

Підписка
E-mail: 

Топ коментаторів
sxz Сергій Петрович Негода
Коментрі: 866

Інші сайти
denischaban Denis Chaban
okamor Неизвестный Неизвестный
kurdarecords kurda records
mykycei Unknown Unknown
bugsbunny12 Micle Zayats

Повернутися на головнуСергій Петрович Негода / Сторінки / Чотирикутники / Паралелограми. Властивості, ознаки, види паралелограмів. Задачі на паралелограмах.

Паралелограми. Властивості, ознаки, види паралелограмів. Задачі на паралелограмах.

0.00 (0)

 

 

Паралелограми

 

 

Класифікація чотирикутників за кількістю пар паралельних сторін.

 Кожний чотирикутник можна розглядати як спільну частину: а)переріз двох смуг, б)смуги і кута,  в) двох кутів.

На відміну від трикутника, в якому три сторони однозначно задають трикутник(звичайно, найбільша сторона трикутника не перевищує суму двох інших), у чотирикутника його чотири сторони задають безліч різних чотирикутників з рівними сторонами, але різними кутами.  Говорять, трикутник - це жорстка фігура, а от чотирикутник нежорстка фігура, бо відомі чотири сторони чотирикутника однозначно не задають чотирикутник. 

На відміну від чотирикутника, довільний трикутник - це завжди плоска фігура, бо три вершини трикутника задають тільки одну площину. Тому  трикутник повністю  належить одній площині. Чотири вершини чотирикутника можуть не лежати в одній площині, тобто, чотири вершини чотирикутники можуть бути вершинами деякої трикутної піраміди. Отже, у загальному випадку, існує просторовий чотирикутник. зазначу, що в курсі шкільної геометрії, розглядаються чотрикутники, діагоналі якого задають площину, якій належить даний чотирикутник.

Якщо чотирикутник має дві пари паралельних сторін, то його діагоналі і вершини лежать в одній площині. У цьому випадку маємо парале­лограм.

 

Означення. Чотирикутник називається паралелограмом, якщо кожна пара протилежних сторін чотирикутника лежить на паралельних прямих.

Приклад. Візміть дві будь-які лінійки для вимірювання довжин і накладіть одна на одну, щоб деяка частинка кожної лінійки мала спільну частину з іншою. Спільна частина обох лінійок (переріз двох смуг) - це паралелограм.

Означення. Трапецією називається чотирикутник, у якого лише дві протилежні сторони паралельні. Тобто, у трапеції є тільки дві протилежні сторони, що лежать на двох паралельних прямих. Ці паралельні прямі задають площину, в якій лежить весь чотирикутник.

Приклад. Візміть два будь-які нерівні кути і накладіть їх один на один так, щоб тільки одна сторона одного кута була паралельна тільки одній стороні другого кута. Спільна частина обох внутрішніх частин кута (переріз двох кутів) - це трапеція.

Означення. Чотирикутник називається довільним, якщо у нього немає паралельних сторін. Тобто, сторони чотирикутника не лежить на паралельних прямих. Саме деякі довільні чотирикутники можуть бути просторовими.

Паралелограм - це завжди плоска фігура. Вершини паралелограма не можуть бути вершинами деякої трикутної піраміди. Отже, паралелограм, як і трикутник однозначно задає площину.

Трапеція - це завжди плоска фігура. Вершини трапеції не можуть бути  вершинами деякої трикутної піраміди. Отже, трапеція, як і трикутник однозначно задає площину.

 

Приклад. Паралелограм  АВСD - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

Взагалі, відстані між паралельними сторонами у паралелограма довільні. Відрізок, що є відстаню між паралельними сторонами називають висотою паралелограма.

Висота - це перпендикуляр до двох паралельних сторін паралелограма. Дві пари паралельних сторін задає дві відстані, а отже у паралелограма є дві висоти.

Трапляються  паралелограми, у яких менша діагональ співпадає з висотою. Звичайно,  такі паралелограми розрізаються меншою діагоналлю на два рівні прямокутні трикутники. Варто зазаначити, що одразу дві висоти паралелограми не можуть співпадати з діагоналями паралелограма. 

Паралелограм має чотири кути. Кожен кут має бісектрису.

Бісектриса паралелограма - це відрізок, що лежить у внутрішній частині паралелограма і ділить кут паралелограма навпіл.

Звичайно, існують паралелограми, у яких усі бісектриси співпадають з двома діагоналями паралелограма. Наприклад, якщо два рівносторонніх трикутники мають спільну одну сторону і вони лежать в одній площині, то це паралелограм, діагоналі якого є бісектрисами.

Властивості паралелограма.

Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться пополам, то цей чотирикутник - паралелограм.

Теорема 2. 1. Діагоналі паралелограма перетинаються і точці перетину діляться пополам, на дві пари рівних трикутників. Кожна пара рівних трикутників визначається за протилежними сторонами паралелограма.

Теорема 2.2. Кожна діагональ паралелограма розрізає паралелограм на два рівних трикутники. Кожна діагональ паралелограма ділить площу паралелограма навпіл.

Теорема 2.2. Кожна діагональ паралелограма має рівні кути з протилежними сторонами паралелограма.

Теорема 3. 1. У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.

Доведення. Нехай АВСD - даний паралелограм.   Проведемо діагоналі паралелограма АС, BD. Нехай О - точка їх перетину. Рівність протилежних сторін АВ і СD випливає з рівності трикутників АОВ і СОD. У них кути при вершині О рівні як вертикальні, а ОА +ОС і ОВ + OD за теоремою 2. Так само з рівності трикутників АОD і СОВ випливає рівність другої пари протилежних сторін АD і ВС.

Рівність протилежних АВС і СDА випливає з рівності трикутників АВС і СDА (за трьома сторонами). У них АВ+СВ і ВС + DА за доведеним, а сторона АС спільна.

Так само рівність протилежних кутів ВСD і DАВ випливає з рівності трикутників ВСD і DАВ. Теорему доведено.

Теорема 3. 2. У паралелограма сума будь-яких двох сусідніх кутів рівна 180 градусів.


Теорема 4. 1. У середині паралелограма будь-який відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей і два кінці якого лежать на сторонах паралелограма, ділиться навпіл точкою перетину діагоналей.

Теорема 4.2. Усередині будь-якого паралелограма є хоча б одна точка, яка рівновіддалена від трьох сторін паралелограма. Якщо ця точка тільки одна, то ця точка рівновіддаленна від усіх сторін паралелограма і усі  сторони такого паралелограма рівні.

Теорема 4.3. Усередині будь-якого паралелограма є хоча б одна точка, яка рівновіддалена від трьох вершин паралелограма. Якщо ця точка єдина, то ця точка рівновіддаленна від усіх вершин паралелограма і усі  кути такого паралелограма рівні, тобто прямі.

Теорема 5.1.  Дві бісектриси сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні, а дві бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні.

Теорема 5.2. Будь-яка бісектриса кута паралелограма відрізає від паралелограма рівнобедрений трикутник, рівні сторони цього трикутника лежать на сторонах паралелограма, а основа цього трикутника лежить на бісектрисі.

Теорема 5.3. Точки перетину чотирьох бісектрис сусідніх кутів паралелограма утворюють прямокутник.

Теорема 6. Кут між двома висотами паралелограма, що виходять із вершини тупого кута парлелограма рівний гострому куту паралелограма.

Теорема 7. Сума квадратів діагоналей паралелограма рівна сумі квадратів його чотирьох сторін.(це формула паралелограма).

Теорема 8.1. Якщо з'єднати середини протилежних сторін паралелограма(це так звані середні лінії), то вони перетинаються  і в точці перетину діляться пополам і точка перетину середніх ліній є точкою перетину діагоналей паралелограма.

Теорема 8.2. Дві середні лінії паралелограма розрізають його на чотири рівні паралелограми.

Теорема 8.3. Дві середні лінії паралелограма паралельні і рівні його сторонам, з якими вони не мають спільних точок.

Теорема 9. Середини сторін паралелограма утворюють паралелограм, площа якого рівна половині площі даного паралелограма.

Теорема 10.1. Існує безліч паралелограмів з рівними сторонами, але різними кутами.

Теорема 10.2. Існує безліч паралелограмів з рівними кутами, але різними сторонами.

Теорема 10.3. Рівними паралелограмами можна замостити всю площину.

Теорема 11. На трьох вершинах будь-якого трикутника можна утворити три різні паралелограма. Для побудови трьох паралелограмів потрібно: з кожної вершини трикутника провести медіани; потім треба продовжити три медіани трикутники за межі трикутника і на продовженні кожної медіани знайти точку симетричну вершині трикутника відносно сторони трикутника.  Три вершини трикутника і точка на продовженні однієї із медіан - це вершини паралелограма.

Ознаки паралелограма.

Чотирикутник ABCD є паралелограмом, якщо виконується одна з наступних умов:

Ознака 1. Протилежні сторони чотирикутника попарно рівні (|AB| = |CD|, |AD| = |BC|).

Ознака 2. Протилежні кути чотирикутника попарно рівні.

Ознака 3. Дві протилежні сторони рівні і паралельні (|AB| = |CD|, AB || CD).

Ознака 4. Діагоналі чотирикутника діляться в точці їх перетину навпіл (|AЕ| = |ЕC|, |BЕ| = |ЕD|).

Доведення ознак.  Нехай чотирикутник ABCD такий що: |AB| = |CD| і |BC| = |AD|.

Проведемо діагональ BD, ми отримаємо два трикутники, які рівні, оскільки діагональ BD - спільна сторона для двох трикутників. |AB| = |CD| і |BC| = |AD| (з умови). З рівності цих трикутників виходить: трикутн.ABD = трикутн.BDC і трикутн.ABD = трикутн.CBD і внаслідок цього AB||CD і BC||AD.

Нехай чотирикутник ABCD такий що: BC || AD і |BC| = |AD|.  Трикутники ABC і BCD рівні (дивись попередній доказ) => трикутн. BAC = трикутн.ACD. Таким чином AB||CD.

Ознака 5.  Кожна діагональ чотирикутника ділить його два рівних трикутника.

Зауваження. Існує чотирикутник з  двома парами рівних  сторін і парою рівних протилежних кутів, який не обов'язково є паралелограмом.(Наприклад, утворити його можна таким чином,  це дельтоїд, - він утворююється двома різними рівнобедреними трикутниками, що мають тільки рівні основи,  і ці якщо ці основи накласти одна наодну, тоді утвориться чотирикутник, який має задану властивість).

Існує чотирикутник з одніє парою рівних протилежних сторін і парою рівних протилежних кутів, який не обов'язково є паралелограмом.(Наприклад, утворити його можна таким чином,  одну сторону дельтоїда паралельно перенести в напрямі сусідної сторони вгору або вниз).


Площу паралелограма можна знайти:

·        як добуток висоти на сторону, до якої проведена висота.

·        як добуток двох сторін і синуса кута між ними.

·        як половина добутку двох діагоналей і синуса кута між ними.   

 

До паралелограмів належать відомі вам чотирикутники: прямокутник, ромб, квадрат.


Площу паралелограма можна знайти по наступних формулах:

S = ah,

S = ab*sina,

S = 0,5*d1*d2*sinw.

Периметр паралелограма - це сума довжин усіх сторін, тобто P = 2а + 2b.

 

Задачі на паралелограм.

1. Сторони паралелограма дорівнюють 40 см і 60 см, а різниця діагоналей дорівнює 8 см. Знайти діагоналі паралелограма.

2. Висоти паралелограма, проведені з вершини тупого кута, дорівнюють 12 і 8 см, а кут між ними - 30 град. Обчислити площу паралелограма.

3. Одна із сторін паралелограма дорівнює 15 см, а тупий кут 120 град. Протилежна до цього кута діагональ дорівнює 21 см. Знайти периметр паралелограма.

4: Бісектриса кута паралелограма, який дорівнює 150 град., ділить його сторону на відрізки 24 см і 16 см, починаючи від вершини протилежного кута. Обчислити площу паралелограма.

5. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а сторони відносяться, як 6:7. Знайти периметр паралелограма.

6. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а менша його сторона - 6 см. Знайти другу сторону.

7. Діагоналі паралелограма дорівнюють 80 і 120 см, а різниця його сторін дорівнює 48 см. Обчисліть периметр паралелограма.

8.   Бісектриса кута паралелограма, який дорівнює 30°, ділить сторону на відрізки 18 см і 12 см, починаючи від вершини протилежного кута. Знайдіть площу паралелограма.

9.   Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см, а діагоналі відносяться як 4:7. Знайдіть довжини діагоналей.

10. Перпендикуляр, проведений з вершини тупого кута паралелограма до його діагоналі ділить її на відрізки 41 см і 57 см. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо різниця сторін паралелограма дорівнює 14 см.

11. Одна із сторін паралелограма дорівнює 15 см, а гострий кут 60°. Протилежна до цього кута діагональ дорівнює 21 см. Обчисліть периметр паралелограма.

 

 

Ромб

 

Означення. Ромб  - це чотирикутник, у якого всі сторони рівні.

Означення. Ромб, у якого прямі  кути, називається  квадратом.

Слово «ромб» вперше уживається у працях Герона і Паппа Александрійського.

 

Елементи симетрії ромба.

Ромб має наступні елементи симетрії: одну вісь симетрії яка перпендикулярна площині ромба і проходить через його центр;  дві осі симетрії другого порядку, з яких дві проходять вздовж діагоналей ромба.

 

Властивості ромба

Теорема 1. Ромб є параллелограммом. Його сторони, що протилежать, попарно паралельні, АВ || CD, AD || ВС.  Всі властивості паралелограма виконуються і для ромба.

Теорема 2. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом(перпендикулярні). (AC перпендикулярно BD) і в точці перетину діляться навпіл. Точка перетину діагоналей -  це центр симетрії ромба(точка, що рівновіддалена від сторін ромба), а дві діагоналі – це осі симетрії ромба.

Теорема 3. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів (кут DCA = кут BCA, кут ABD = кут CBD і т.  д.).

Теорема 4. Сума квадратів діагоналей рівна квадрату сторони, помноженому на чотири.

Теорема 5. У ромб завжди можна вписати коло. Центром кола є точка перетину діагоналей, а радіус кола дорівнює половині висоти ромба.

Теорема 5. Середини сторін ромба утворюють прямокутник.

 

ОЗНАКИ РОМБА.

Чотирикутник ABCD є ромбом, якщо виконується одна з наступних умов:

Ознака 1. Усі сторони чотирикутника  рівні (|AB| = |CD|=|AD| = |BC|).

Ознака 2. Чотирикутник  є паралелограмом і діагональ лежить на бісектрисі кута.

Ознака 3. Дві висоти паралелограма рівні.

Ознака 4. Діагоналі чотирикутника діляться в точці їх перетину навпіл і перпендикулярні (|AЕ| = |ЕC|, |BЕ| = |ЕD|).

Ознака 5.  Кожна діагональ чотирикутника ділить його два рівних рівнобедрених трикутника, і для цих рівнобедрених трикутників  спільною основою є діагональ.

 

Площа ромба

Площа ромба рівна половині добутку його діагоналей. Оскільки ромб є параллегограммом, тоді його площа також рівна добутку його сторони на висоту.
Площа ромба рівна
квадрату його сторони на синус кута між сторонами.



 

Задачі на ромб.

1. Висота ромба проведена з вершини тупого кута, ділить його основу на відрізки довжиною m і n. Знайти діагоналі ромба.

2. Висота проведена з вершини тупого кута ромба, ділить сторону на відрізки 7 см і 18 см, починаючи від вершини гострого кута. Обчислити радіус вписаного кола.

3. Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см, а менша його діагональ - 8 см. Знайти другу діагональ.

4. Сума діагоналей ромба дорівнює 70 см, а сторона - 25 см. Знайти висоту ромба.

5\. Різниця діагоналей ромба дорівнює 10 см, а його периметр дорівнює 100 см. Обчислити площу ромба.

6. Діагоналі ромба відносяться, як 3:4. Знайти висоту ромба, якщо його сторона дорівнює 25 см.

7. Діагоналі ромба дорівнюють 6 і 8 см. Обчислити периметр подібного йому ромба, висота якого дорівнює 48 см.

8. Перпендикуляр, проведений з точки перетину діагоналей ромба, '   ділить його сторону на відрізки 16 см і 9 см. Знайти діагоналі ромба.

9. Перпендикуляр, проведений з вершини гострого кута паралелограма до його діагоналі, ділить її на відрізки 18 см і 6 см. Знайти діагоналі паралелограма, якщо сума його сторін дорівнює 48 см.

10.Більша діагональ ромба ділить його висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки 75 см і 21 см. Знайти площу ромба. 11 .Різниця між стороною і висотою ромба дорівнює 1 см. Діагоналі ромба відносяться, як 3:4. Знайти периметр ромба.

12.Точка дотику вписаного в ромб кола ділить його сторону на відрізки 16 см і 9 см. Обчислити діаметр кола.

13. Більша діагональ ромба ділить його висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки у відношенні 25 : 7. Обчисліть площу ромба, якщо його сторона дорівнює 100см.

14. Тупий кут ромба дорівнює 120° .3 вершини цього кута до протилежних сторін ромба проведено два перпендикуляри, відстань між основами яких дорівнює 12см.Обчисліть периметр ромба.

15. Висота, проведена з вершини тупого кута ромба, ділить його сторону на відрізки 7 і 18см, починаючи від вершини гострого кута. Обчисліть площі частин, на які ділить ромб ця висота.

16. В ромб вписано коло радіуса R. Знайти площу ромба, якщо його більша діагональ дорівнює 8R.

17. Діагоналі ромба відносяться, як 3:4, а їх різниця дорівнює 20см. Обчисліть площі частин, на які ділить ромб пряма, що проходить через вершину тупого кута і середину протилежної сторони.

18. Сторона ромба дорівнює 25см, а його висота - 24см. Знайдіть діагоналі ромба.

19. Діагоналі ромба відносяться, як 3:4, а його периметр дорівнює 100см. Обчисліть площу ромба.

20. В ромб з гострим кутом 30° вписано коло, а в коло - квадрат. Знайти відношення площі ромба до площі квадрата.

21. Перпендикуляр, проведений з вершини тупого кута ромба, ділить його сторону на відрізки 7 і 18см., починаючи від вершини гострого кута. Знайдіть діагоналі ромба.

 

 



Прямокутник

 

Означення. Прямокутник - це чотирикутник, у якого всі  кути прямі, тобто, рівні 90°.

Сторони і діагоналі

Довжиною прямокутника називають довжину довшої пари його сторін, а шириною  довжину коротшої пари сторін.

 

Властивості  прямокутника.

Теорема 1. Діагоналі прямокутника рівні.

Теорема 2. Прямокутник є паралелограмом  його протилежні сторони паралельні.

Теорема 3. Сторони прямокутника є одночасно його висотами.

Теорема 3. Квадрат діагоналі прямокутника рівний сумі квадратів двох його суміжних сторін.

Теорема 4. Прямокутник, який одночасно є і ромбом (у якого всі сторони рівні)  це квадрат.

Теорема 5. Довжина діагоналі прямокутника обчислюється за теоремою Піфагора і рівна квадратному кореню з суми квадратів довжини і ширини.

Теорема 6. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло. Центр цього кола – це точка перетину діагоналей, а радіус кола дорівнює половині діагоналі прямокутника.

Теорема 7.  Прямокутник має центр симетрії – це точка перетину діагоналей.

Теорема 8.  Прямокутник має дві вісі симетрії – це прямі, що проходять через середини  протилежних сторін прямокутника.

Теорема 9. Середини сторін прямокутника утворюють ромб.

 

Ознаки  прямокутника

1.    Якщо в чотирикутнику три кути прямі, то це прямокутник.

2.    Якщо в чотирикутнику діагоналі рівні і точкою перетину діляться навпіл, то це прямокутник.

3.    Якщо в паралелограмі один кут  прямий, то це прямокутник.

4.    Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то це прямокутник.

5.    Якщо в паралелограмі діагоналі утворюють рівні кути із однією зі стороною, то це прямокутник.

Площа і периметр прямокутника

Величина площі прямокутника рівна твору ширини прямокутника на його висоту.

Периметр прямокутника рівний подвоєній сумі довжин його ширини і висоти.

Квадрат  один з окремих випадків прямокутника.


Квадрат

 

Означення. Квадрат правильний чотирикутник.  Може бути визначений, як прямокутник, у якого дві сусідні сторони рівні або як ромб у якого всі кути прямі.

Елементи симетрії

Квадрат має наступні елементи симетрії: одну вісь симетрії яка перпендикулярна площині квадрата і проходить через його центр;  чотири осі симетрії другого порядку, з яких дві проходять вздовж діагоналей квадрата, а інші дві паралельно сторонам, і проходять через середини сторін квадрата.

Квадрат володіє найбільшою кількістю симетрій серед всіх чотирикутників.

Властивості квадрата.

Теорема 1. При розрізанні  квадрата діагоналлю отримуємо два рівнобедрених прямокутних трикутники з кутами 45о, 45о, 90о.

Теорема 2. Діагональ квадрата рівна добутку сторони і квадратного кореня з двійки.

Теорема 3. Радіус описаного кола дорівнює половині добутку сторони і квадратного кореня з двійки.

Теорема 3. Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.

Теорема 4. У квадрата центри вписаного і описаного кіл  і центр симетрії співпадають.

Теорема 5. Середини сторін квадрата утворюють квадрат.

Теорема 6.  Якщо на стороні квадрата побудувати правильний трикутник з вершиною в середині КВАДРАТА, то ця вершина РІВНОСТОРОННЬОГО ТРИКУТНИКА  являється вершиною чотирьох рівнобедрених трикутників з основами на сторонах даного квадрата.(Кути цих трикутників:

1) 60 град. 60 град. 60 град.  

2) 75 град. 75 град. 30 град.

3) 75 град. 75 град. 30 град.

4) 15 град. 15 град. 150 град.

Теорема 7.  Якщо побудувати чотири точки, що симетричні відносно сторін квадрата, точці перетину діагоналей квадрата, то ці чотири точки є вершинами квадрата.

Теорема 8. Квадрат можна розрізати на довільну кількість необов’язково рівних між собою рівнобедрених трикутників.

Теорема 9. Квадрат можна розрізати на довільну кількість необов’язково рівних між собою дельтоїдів.

 Теорема 10. На сторонах паралелограма у зовнішню область побудовані квадрати. Центри чотирьох квадратів є вершинами квадрата.

 

 

Ознаки квадрата

1.    Якщо в ромбі один кут  прямий, то це квадрат.

2.    Якщо в ромбі діагоналі рівні, то це квадрат.

3.    Якщо в в ромбі сусідні кути  рівні, то це квадрат.

4.    Якщо в прямокутнику діагоналі перпендикулярні, то це квадрат.

5. Якщо в прямокутнику діагоналі є бісектрисами кутів, то це квадрат.

 

 

Периметр і площа квадрата

Хай a - сторона квадрата, R - радіус описаного кола, r - радіус вписаного кола. Тоді периметр квадрата рівний сумі усіх сторін, а площа  S квадрата розраховується по формулі

S = t2 = 2R2 = 4r2.

 

Задачі на дослідження.

1. Чи завжди можна прямокутник розрізати на квадрати?

2. Чи завжди можна квадрат розрізати на прямокутники?

3. Чи можна так накласти два довільні квадрати, щоб спільна частина обох квадратів утворила: а)трикутник будь-якого виду; б) паралелограм будь-якого виду; в) правильний 5-кутник; г) правильний шестикутник.

4. Чи можна так зігнути папір, що має  форму квадрата, щоб межі згину утворили: а)трикутник будь-якого виду найбільшої площі; б) паралелограм будь-якого виду; в) правильний 5-кутник найбільшої площі; г) правильний шестикутник найбільшої площі.

5. Квадрат розрізали декількома прямими на частини. Яку потрібно найменшу кількість фарб, щоб кожна ненульова площа пофарбованої частина була видима на даному квадраті?

6. На кожній стороні квадрата на однаковії від вершини за годинниковою стрілкою поставили по одній точці. Яку фігуру утворили ці чотири точки.

 

ЗАДАЧІ для перевірки знань З ТЕМИ «ПАРАЛЕЛОГРАМИ»

Замість букви N вставити номер учня згідно списку

Варіант N

1А)Периметр трикутника АВС, у якому АВ = ВС і АС - ВС = 40 см, дорівнює 640 см. Медіану АК цього трикутника продовжили так, що      КМ = АК. Знайдіть сторони ВМ і МС чотирикутника АВМС. Визначте  вид чотирикутника АВМС. .

1Б) Периметр трикутника АВС, у якому АВ = ВС і АС - ВС = N см, дорівнює 16∙N см. Медіану АК цього трикутника продовжили так, що     КМ = АК. Знайдіть сторони ВМ і МС чотирикутника АВМС. Визначте  видчотирикутника АВМС.

2А) Периметр трикутника АВС, у якому АВ = ВС і АС - АВ = 240  см,
дорівнює
1440 см. Медіану ВКцього трикутника продовжили так,
що ВК = КМ. Знайдіть сторони АМ і МС чотирикутника АВСМ.
Визначте його вид.  

2Б) Периметр трикутника АВС, у якому АВ = ВС і АС - АВ = 6N  см,
дорівнює
36∙N см. Медіану ВКцього трикутника продовжили так,
що ВК = КМ. Знайдіть сторони АМ і МС чотирикутника АВСМ.
Визначте його вид.  

3А) Висота ромба ділить протилежну сторону ромба на відрізки 40 см і 40 см. Знайдіть периметр, кути і меншу діагональ ромба.

3Б) Висота ромба ділить протилежну сторону ромба на відрізки N см і N см. Знайдіть периметр, кути і меншу діагональ ромба.

4А) Тупий кут ромба дорівнює 150°, а його висота рівна  40 см. Знайдіть
периметр ромба.       

4Б) Тупий кут ромба дорівнює 150°, а його висота рівна  N см. Знайдіть
периметр ромба.

5А) Периметр ромба дорівнює 640  см. а його висота рівна  80  см. Зна­йдіть кути ромба.

5Б) Периметр ромба дорівнює 16N  см. а його висота рівна  2N  см. Зна­йдіть кути ромба.      

6А) Діагональ прямокутника дорівнює 40 см. Середини сторін цього прямокутника послідовно сполучено відрізками. Знайдіть пери­метр утвореного чотирикутника. Визначте його вид.

6Б) Діагональ прямокутника дорівнює N см. Середини сторін цього прямокутника послідовно сполучено відрізками. Знайдіть пери­метр утвореного чотирикутника. Визначте його вид.

7А). У паралелограмі АВСD менша діагональ ВD є його висотою. Зна­йдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 2400 см, а кут А = 60°.

7Б). У паралелограмі АВСD менша діагональ ВD є його висотою. Зна­йдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 60N см, а кут А = 60°.

8А) Тупий кут ромба дорівнює 120°, а його периметр рівний 1600 см. На які відрізки поділяється сторона ромба висотою, проведеною з вер­шини тупого кута?

8Б) Тупий кут ромба дорівнює 120°, а його периметр рівний 40N см. На які відрізки поділяється сторона ромба висотою, проведеною з вер­шини тупого кута?

9А) У паралелограмі АВСD АВ:ВС = 1:5, а його периметр дорівнює 960  см. До сторони DС і на продовженні до сторін ВС і АD побу­довано ромб DСКМ. Знайдіть периметр чотирикутника АВКМ.

9Б) У паралелограмі АВСD АВ:ВС = 1:5, а його периметр дорівнює 24N  см. До сторони DС і на продовженні до сторін ВС і АD побу­довано ромб DСКМ. Знайдіть периметр чотирикутника АВКМ.

10А) У паралелограмі АВСD кут В = 120°, а висота ВК поділяє сторону АВ у відношенні АК:КD = 2:3. Знайдіть периметр паралелограма, якщо  КD - КА = 40 см.       

10Б) У паралелограмі АВСD кут В = 120°, а висота ВК поділяє сторону
АВ у відношенні АК:К
D = 2:3. Знайдіть периметр паралелограма, якщо  КD - КА = N см.

11А) До сторони ВС і на продовженні сторін АВ і DС паралелограма
АВС
D добудовано ромб ВКМС. Знайдіть периметр паралелогра­
ма АВСО, якщо АВ : ВС = 2 : 3 і периметр чотирикутника АКМ
D
дорівнює
1280  см.

11Б) До сторони ВС і на продовженні сторін АВ і DС паралелограма
АВС
D добудовано ромб ВКМС. Знайдіть периметр паралелогра­
ма АВСО, якщо АВ : ВС = 2 : 3 і периметр чотирикутника АКМ
D
дорівнює 32
N  см.   

12А) Одна зі сторін паралелограма на 50% більша за другу, а
периметр паралелограма дорівнює
300 см.  Знайдіть мен­шу сторону паралелограма.        

12Б) Одна зі сторін паралелограма на (N + 10)% більша за другу, а
периметр паралелограма дорівнює (220 + 2N
) см.  Знайдіть мен­шу сторону паралелограма.

 

 

 





Коментар: 4 Переглядів: 38496 [Історія змін] Розмір:47123 байт
Останні зміни зроблені: sxz Сергій Петрович Негода 105 дні(в) тому 03.01.2014 04:09:25
ДодавТекст

sxz Надіслати повідомлення
Сергій Петрович Негода
476 дні(в) тому 27.12.2012 21:59:41 Цитата('127112','127112','7','1159')">Повідомити про спам

http://www.slideshare.net/Lesya74/1-15090273


---
Павло

sxz Надіслати повідомлення
Сергій Петрович Негода
476 дні(в) тому 27.12.2012 22:02:35 Цитата('127112','127112','7','1160')">Повідомити про спам

http://ua-referat.com/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%...


---
Павло

sxz Надіслати повідомлення
Сергій Петрович Негода
476 дні(в) тому 27.12.2012 22:07:16 Цитата('127112','127112','7','1161')">Повідомити про спам

http://samouchka.com.ua/ukr/_rozvyvayuchi_igry/05/


---
Павло

sxz Надіслати повідомлення
Сергій Петрович Негода
105 дні(в) тому 03.01.2014 04:17:21 Цитата('127112','127112','7','2161')">Повідомити про спам

Самостійна робота

 

 

Варіант 1

 

Варіант 2

1.

У паралелограмі ABCD сторо­на АВ дорівнює 3 см, його діа­гоналі дорівнюють 7 см і 4 см; точка О — точка перетину діа­гоналей. Чому дорівнює пери­метр трикутника АОВ?

1.

У паралелограмі ABCD діаго­налі дорівнюють 8 см і 5 см, сторона ВС — 3 см; точка О — точка перетину діагона­лей. Чому дорівнює периметр трикутник AOD?

2.

У трикутнику ABC А = 50°. Із точки, узятої на стороні ВС, проведено дві прямі, паралель­ні сторонам АВ і АС. Визначте вид утвореного чотирикутни­ка. Знайдіть його кути.

2.

Із точки, узятої на одній із сторін рівностороннього три­кутника, проведено дві прямі, паралельні двом іншим його сторонам. Визначте вид утво­реного чотирикутника. Знай­діть його кути.




---
Павло
Ім'я Пароль
розширений... ( / Реєстрація )

Тема

В тексті можна використовувати Wiki або HTML теги





Хто на сайті?
Анонімні: 9, Зареєстровані: 0 (?)

Скарга | Розміщено на MyLivePage | | Design by VladDeVille | © Kolobok smiles, Aiwan