Планування факультативного курсу
"Геометрія трикутника"
заняття 24 - 32
24 година
Практикум. Задачі на визначення видів трикутників.
1. Дві висоти трикутника ділять його на дві пари рівновеликих частин. Знайти кути трикутника. Відповідь: всі кути по 600.
2.У прямокутному трикутнику добуток сторін у 4 рази більший від добутку висот. Знайти різницю гострих кутів трикутника. Відповідь: 300.
3. Чи завжди можна побудувати трикутник, сторони якого відповідно дорівнюють висотам іншого трикутника? Відповідь: не завжди, розгляньте прямокутний трикутник, з катетами 6 см, 2 см.
4. Якщо, різниця двох сторін трикутника дорівнює різниці висот, проведених до цих сторін, то названі сторони лежать проти гострих кутів. Довести.
5. Висота рівнобедреного трикутника дорівнює різниці радіусів описаного і вписаного кіл. Знайти кути трикутника. Відповідь: 360, 360, 1080.
6. Визначити величини всіх можливих кути між і коротки і довгими діагоналями, якщо їхні діагоналі лежать у різних вершинах рівностороннього шестикутника. Відповідь: 600, 1200, 900.
7. Дві висоти ромба, проведені з вершин його тупих кутів, перетинаючись, поділяються у відношенні 1:2. Визначити кути ромба. Відповідь: 600, 1200, 600, 1200 .
8. Віддаль між кінцями двох висот ромба, проведених з вершини тупого кута, дорівнює половині діагоналі. Визначити кути ромба. Відповідь: 300, 1500, 300, 1500
9. Дві висоти трикутника не менші від сторін, до яких проведені. Визначити кути трикутника. Відповідь: рівнобедрений прямокутний трикутник.
10. Висота і медіана трикутника, що проведені з однієї вершини, поділили кут на три рівні частини. Знайти кути трикутника. Відповідь: 600, 300, 900.
11. Висота, бісектриса і медіана трикутника, проведені з однієї вершини, поділили кут на 4 рівні частини. Знайти цей кут трикутника. Відповідь: 600, 300, 900.
12. Знайти кут між найдовшими бісектрисами прямокутного трикутника. Відповідь: 1350.
25 година
Властивості рівнобедрених трикутників.
1.Рівнобедрений трикутник має вісь симетрії, котра містить в собі висоту, медіану, бісектрису, що проведені до основи.
2. У рівнобедреного трикутника висота, медіана, бісектриса, що проведені до основи, співпадають.
3. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні.
4. У рівнобедреного трикутника бісектриси , що проведені до бічних сторін рівні.
5. У рівнобедреного трикутника висоти, що проведені до бічних сторін рівні.
6. У рівнобедреного трикутника медіани, що проведені до бічних сторін рівні.
7. Точка перетину двох бісектрис зовнішніх кутів при основі рівнобедреного трикутника лежить на прямій, що містить бісектрису внутрішнього кута, протилежного основі.
8. Серединний перпендикуляр, що проведений до основи рівнобедреного трикутника проходить через вершину цього трикутника.
9. Медіана, що проведена до основи рівнобедреного трикутника, рівновіддалена від бічних сторін.
10 .Серединні перпендикуляри, що проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника відтинають від вершин основи рівні відрізки.
11. Якщо бісектриса при основі ділить навпіл бічну сторону рівнобедреного трикутника, то цей трикутник рівносторонній.
12. Якщо кут при основі в два рази більший, ніж кут при вершині рівнобедреного трикутника, то бісектриса кута при основі рівна основі.
13. Якщо кут при вершині в два рази менший, ніж кут при основі рівнобедреного трикутника, то бісектриса кута при основі розділяє його на два рівнобедрених трикутника.
14. Бісектриси кутів В та С при основі рівнобедреного трикутника АВС перетинаються в точці Е і на продовженні зустрічають описане коло навколо цього трикутника в точках D i F. Довести, що чотирикутник EDAF - ромб.
26 година
Властивості рівнобедрених трикутників.
Звідна таблиця окремих випадків трикутників
a,b,c-сторони трикутника, ά,β,γ- кути трикутника, ha,hb,h c- висоти трикутника,ma,mb,mc-медіани трикутника, la,lb,lc -бісектриси трикутника ,S - площа трикутника, R - радіус описаного кола,r - радіус вписаного кола, ra,rb,rc - радіуси зовні вписаних кіл, ас - проекція а на сторону с , bc -проекція b на сторону с.
Вид трикутника | Визначення, формули, властивості, відношення між елементами |
Рівносторонній трикутник | a=b=c, ά=β=γ=600, ha=hb=hc= ma=mb=mc= =la=lb=lc= ,S= R=2r ,r= , R= , ra=rb=rc= =3r |
Рівнобедрений трикутник | a=b- бічні сторони, с- основа ά=β,(кути при основі рівні), ha=hb= hc= mc= lc= ma=mb, la=lb, ha=hb, S= S= R= ,r= , R= , ra=rb=hc
rc= .
|
Прямокутний трикутник | ά +β=γ=900, a ,b - катети c - гіпотенуза , a2 + b2 = c2 (теорема Піфагора), а2 = сас, b2 = сbс, h2= асbс, S= . Точка перетину медіан знаходиться на відстані від сторін а, b, с відповідно . ma= mb= mc=0,5с, hа= b, hb=а, h c= |
Рівнобедрений прямокутний | =a=b- бічні сторони, с- основа ά=β=450,(кути при основі рівні), γ=900,
S= , ma=mb= , hc= mc= lc= . |
Прямокутний з кутом в 300 | а= , b= , ά= 300, β=600, ), γ=900, S= |
27 година
Властивості подібних трикутників.
Означення: Два трикутники називаються подібними, якщо сторони одного трикутника відповідно пропорційні сторонам другого та їхні відповідні кути рівні.
Число, яке рівне відношенню відповідних сторін подібних трикутників називають коефіцієнтом подібності.
Для подібності двох трикутників використовують символ
Рівні трикутники подібні, у них коефіцієнт подібності рівний 1.
Ознаки подібності трикутників
Ознака 1.Два трикутники подібні, якщо два кути одного трикутника відповідно рівні двом кутам другого трикутника.
Ознака 2. Два трикутники подібні, якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути між цими сторонами рівні.
Ознака 3. Два трикутники подібні, якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам другого трикутника
Властивості подібних трикутників
1. Два трикутники подібні, якщо сторони одного відповідно паралельні сторонам другого.
2. Два трикутники подібні, якщо сторони одного відповідно перпендикулярні сторонам другого.
3. У рівносторонні трикутники подібні.
4. Пряма, що паралельна стороні трикутника і перетинає дві інші сторони цього трикутника відтинає від нього трикутник, що подібний до даного.
5. Площі двох подібних трикутників відносяться, як квадрати відповідних лінійних елементів.
6. Гомотетичні трикутники подібні.
28 година
Класичні точки трикутника.
Внутрішня точка гострокутного трикутника, сума відстаней від якої до сторін є найменшою(точка Торрічеллі)- це точка із якої сторони видно під кутом 1200. Пряма Ейлера - це пряма, що з'єднує точку перетину медіан М, точку перетину висот Н і центр описаного кола О. Справедливе відношення ОМ:МН = 1:2. Коло дев'яти точок - множина точок, що належать одному колу: середини сторін трикутника, основи висот трикутника, середини відрізків трикутника, що з'єднують точку перетину висот(ортоцентр) з вершинами трикутника . Точки Брокера - це внутрішні точки P , Q трикутника АВС, що кути рівні: ÐABP = ÐBCP = ÐCAP та ÐQCA = ÐQBC = ÐQAB. Точка Лемуана - точка перетину прямих, що симетричні медіанам відносно відповідних бісектрис. Точка Жергона - точка перетину прямих, що з'єднують вершини трикутника з точками, в яких вписане коло дотикається протилежних сторін. Точка Нагеля - точка перетину прямих, що з'єднують вершини трикутника з точками, в яких зовнівписані кола дотикається протилежних сторін( ці прямі ділять навпіл периметр трикутника).
29 година
Цікаві властивості трикутників.
1.Теорема Стюарта: Якщо а, b, с - сторони трикутника АВС і точка D ділить сторону ВС так, що ВD = а1, СD = а2, тоді АD =
2.Теорема Чеви: Нехай А,В,С - вершини трикутника. А1,В1,С1 - точки , що лежать відповідно на сторонах ВС, АС, АВ цього трикутника. Якщо відрізки АА1, ВВ1, СС1 мають спільну точку О , то виконується відношення
3. Нехай А,В,С - вершини трикутника, а, b, с - сторони трикутника АВС. Із вершин даного трикутника як із центрів можна описати три кола, що дотикаються попарно зовнішнім чином. Радіус кола з центром в точці С rc= , радіус кола з центром в точці А rа= , радіус кола з центром в точці В rв= .
4. Теорема Ейлера ( про центри вписаного та описаного кіл ): Відстань d між центром О кола, вписаного в деякий трикутник АВС, і центром S кола, що описане навколо цього трикутника, знаходиться через радіуси r та R радіуси вписаного та описаного кіл за формулою:
.
5.Теорема Ейлера (про особливі точки трикутника, що лежать на одній прямій): У будь-якому трикутнику точка перетину медіан і точка перетину висот лежать на одній прямій з центром описаного кола.
6.Теорема Штейнера: Для того щоб три перпендикуляри, що проведені до сторін ВС, АС, СА трикутника відповідно в точках А1, В1, С1, мали спільну точку, необхідно й достатньо, щоб виконувалась рівність
7. Теорема Ейлера(коло дев'яти точок): Середини сторін трикутника і основи висот та середини відрізків, що з'єднують точку перетину висот з вершинами трикутника, лежать на одному колі.
8. Три прямі, що проведені через середини сторін відповідно паралельно бісектрисам протилежних кутів, перетинаються в одній точці.
30 година
Цікаві властивості трикутників.
•1. Теорема Менелая: На сторонах АВ, АС, СВ (або на їх продовженнях) трикутника АВС відповідно взяли точки А1 , В1 , С1. Точки А1 , В1 , С1 знаходяться на одній прямій тоді і тільки, коли
•2. Теорема Морлея: В трикутнику АВС проведені трисектриси кутів, тобто промені, що розділяють кути на три рівні частини. Найближчі до сторони ВС трисектриси кутів В та С перетинаються в точці А1. Аналогічно визначаємо точки В1 та С1. Трикутник А1В1С1 - рівносторонній.
•3. Теорема Максвела: В середині трикутника АВС взято довільну точку Р, яку з'єднано з вершинами трикутника АВС. Якщо побудувати трикутник зі сторонами, що паралельні цим відрізкам та через його вершину провести прямі, які паралельні сторонам трикутника АВС, то вони перетинаються в одній точці.
•4. Теорема Лемуана: Три прямі, що симетричні медіанам трикутника АВС відносно відповідних бісектрис трикутника АВС, перетинаються в одній точці.
•5. Теорема Жергона: Три прямі, що з'єднують вершини трикутника АВС та точки трикутника АВС, в яких дотикається вписане коло, перетинаються в одній точці.
•6. Теорема Нагеля: Три прямі, що з'єднують вершини трикутника АВС та точки трикутника АВС, в яких дотикається зовні вписане коло протилежних сторін( ці прямі ділять навпіл периметр), перетинаються в одній точці.
•7. Теорема Брокера: В трикутнику АВС існують такі внутрішні точки Р та К, що та (для рівностороннього трикутника ці точки співпадають).
•8.Теорема Паппа Александрійського, яка є узагальненням теореми Піфагора:
На основі АС трикутника АВС побудовано паралелограм АКLС , який лежить по один бік від АС з трикутником АВС. На бічних сторонах АВ і ВС побудовано паралелограми АЕFB i BMNC, які лежать з трикутником по різні боки від АВ і ВС. Відомо, що EF проходить через К, а MN проходить через L. Тоді що площа паралелограма АКLС дорівнює сумі площ паралелограмів АЕFB i BMNC.
•9. Нехай , , - висоти трикутника зі сторонами a,b,c. Тоді
( + + )( )=(a+b+c)( )
31 година
Практикум. Подібні рівнобедрені трикутники.
•1. Периметр рівнобедреного трикутника АВС дорівнює 128 см, а бічна сторона відноситься до основи, як 5:6. Обчислити меншу сторону подібного трикутника КСМ до даного, якщо відношення основ цих трикутників рівне 8.
2. Периметр рівнобедреного трикутника АВС дорівнює 128 см, а бічна сторона - 40 см. Знайти більшу сторону КСМ подібного трикутника до даного, якщо відношення бічних сторін рівне 0,25.
3. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 160 см, а висота, опущена на основу дорівнює 40см. Знайти всі сторони подібного трикутника до даного, якщо відношення бічних сторін рівне 3.
4. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 55см, а його основа дорівнює 66см. Обчислити довжину відрізків подібного трикутника до даного, на які ділить бічну сторону бісектриса кута при основі. Відношення бічних сторін подібних трикутників рівне 5.
5. Бічна сторона рівнобедреного трикутника ділиться точкою дотику вписаного кола на відрізки 24 см і 16 см, починаючи від кінця основи. Знайти радіус вписаного кола для подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 4.
6. Бічна сторона і основа рівнобедреного трикутника відносяться, як 5:6, а периметр його дорівнює 48 см. Знайти відстань від точки перетину медіан до основи для подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 6.
7. Бісектриса проведена до бічної сторони рівнобедреного трикутника, ділить її на відрізки 25 см і 30 см, починаючи від вершини, яка протилежна основі. Обчислити периметр подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 10.
8. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 25 см, а висота, опущена на неї - 24 см. Обчислити периметр подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 9.
9. У рівнобедреному трикутнику висота , опущена на основу, дорівнює 32 см. Бісектриса кута при основі перетинає дану висоту в точці , яка віддалена від основи на 12 см. Обчислити основу подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 2.
10. У рівнобедреному трикутнику кут, утворений висотою, проведеної до основи, і бісектрисою кута при основі, дорівнює 55 град. Знайти всі кути подібного трикутника до даного.11. У рівнобедреному трикутнику висота , опущена на бічну сторону, дорівнює 48 см і ділить бічну сторону на відрізки у відношенні 18:7, починаючи від вершини кута при основі. Обчислити периметр трикутника. Обчислити висоту, що опущена на основу подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 0,4.
12. У рівнобедреному трикутнику медіана бічної сторони дорівнює 10 см, а висота, опущена на основу, - 16 см. Знайти основу подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 0,5.
13. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 10 см, а висота -20 см. Знайти висоту опущену на бічну сторону подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 0,9..
14. Висота проведена до основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 32 см, а діаметр описаного навколо нього кола дорівнює 50 см. Обчислити периметр подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 1,5.
15. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана бічної сторони 5 см. Знайти довжину бічної сторони подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 4,5.
16. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 30 см, а висота опущена на бічну сторону - 24 см. Обчислити периметр подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 0,25.
17. Основа рівнобедреного трикутника довша від бічної сторони на 9 см. Відстань від точки перетину медіан до основи дорівнює 3 см. Обчислити периметр подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 8,5.
18. Знайти площу круга, описаного навколо рівнобедреного трикутника, якщо основа цього трикутника дорівнює 24 см, а бічна сторона 13 см. Обчислити медіану подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 0,5.
19. На медіані рівнобедреного трикутника, проведеної до основи, взято точку , що однаково віддалена від кінців бічної сторони. Обчислити периметр трикутника якщо відстань від цієї точки до основи дорівнює 14 см, а до кінця основи - 50 см. Обчислити найбільшу висоту подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 5.
20. Навколо радіуса R описано рівнобедрений трикутник з кутом 120 град. Знайти сторони подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 25.
21. У рівнобедреному трикутнику з бічною стороною , що дорівнює 4 см, проведено медіану бічної сторони. Знайти основу трикутника, якщо довжина медіани дорівнює 3 см.
Знайти найбільшу медіану подібного трикутника до даного. Відношення основ подібних трикутників рівне 0,8.
32 година
Задачі на побудову.
Історична довідка: Рене Декарт працював над створенням єдиної науки, яка об'єднала б алгебру і геометрію. План загальної математики повністю відповідає його уявленню про світ як про єдиний механізм, керований математичними законами. Цей план був частково реалізований в його «Геометрії». Книга складається з трьох частин. У першій частині «Геометрії» Декарт розглянув ті завдання, які можуть бути вирішені за допомогою циркуля і лінійки, і відмітив, що вони зводяться до дослідження квадратних рівнянь.
В геометрії трикутника досить часто зустрічаються задачі на побудову, в яких треба побудувати трикутник за допомогою циркуля і лінійки(косинець). За допомогою цих інструментів можна провести коло даного радіуса, відкласти даний відрізок від даної точки на даній прямій, провести будь-яку пряму або промінь, взаємно паралельні або перпендикулярні прямі тощо.
Проаналізуємо типові найпростіші задачі на побудову.
Задачу вважають розв'язаною, якщо вказано алгоритм побудови, що складається з задач 1-5(розв'язані нижче). Крім того, має бути доведено, що внаслідок послідовного виконання цього алгоритму можна дійсно побудувати трикутник за даними умовами.
Задача 1. Побудувати трикутник за трьома сторонами a , b, c.
Побудова. На довільній прямій l відкладемо відрізок АВ довжиною с. Проводимо кола з центром в точці А радіусом R=b та з центром в точці В радіусом R=a. Отримаємо точку перетину цих кіл С. Сполучивши точку С з точками А і В, дістанемо шуканий трикутник АВС. Дійсно, АВ= с, ВС= а, АС= b.
Задача 2. Побудувати кут, рівний даному куту А.
Побудова: Проведемо коло з центром в точці А довільним радіусом R. Це коло перетинає сторони кута в точках В І С. Проведемо довільний промінь з початком в точці А1.
Проведемо коло з центром в точці А1 заданим радіусом R. Це коло перетинає промінь в точці С1. Далі проводимо коло з центром в точці С1 заданим радіусом СВ. Кола (А1, R) та (С1, СВ) перетинаються в даній півплощині в точці В1. Кут В1 А1С1 - шуканий. Дійсно, В1 А1С1= ВАС за третьою ознакою рівності трикутників,
отже В1А 1С1= ВАС .
Задача 3. Розділити даний кут А навпіл.
Побудова. Проведемо коло з центром в точці А довільним радіусом R. Це коло перетинає сторони кута в точках В І С. Проведемо два кола (В, R) та (С, R), D - точка перетину цих кіл, відмінна від А. Промінь АD - бісектриса кута А.
Для доведення сполучимо точку D з точками В і С. Маємо
АВD= CAD за третьою ознакою рівності трикутників. Отже, BAD= CAD.
Задача 4. Розділити даний відрізок навпіл.
Побудова. Проведемо два кола (В, R) та (А, R), Вони перетинаються в точках С і D , СD - ділить відрізок навпіл. Дійсно, ACD= BCD за третьою ознакою рівності трикутників. Отже, ACD= BCD. На прямій CD лежить бісектриса , висота, медіана рівнобедреного трикутника АВС. Тому точка О - середина відрізка АВ. Звертаємо увагу на те, що CD - серединний перпендикуляр відрізка АВ.
Задача 5. Через точку провести пряму, перпендикулярну до даної прямої.
Можливі два випадки:
А) Точка А не лежить на прямій а. Проводимо коло з центром А, що перетинає пряму а в точках В і С. Проводимо кола з центром в точці В радіусом ВА та з центром в точці С радіусом СА, D - точка перетину цих кіл, відмінна від точки А, А D - серединний перпендикуляр відерка ВС (див. задачу 4).
Б) Точка А лежить на прямій а. Проводимо довільним радіусом R коло (А, R), яке перетне пряму а в точках В і С.
Далі будуємо серединний перпендикуляр відрізка ВС(див. задачу 4).
Задача 6. Побудувати трикутник, знаючи його сторону с, прилеглий до неї кут і різницю d двох інших сторін.
Побудова. Припустимо, що задачу розв'язано і АВС шуканий. На більшій стороні АС відкладемо відрізок С D = СВ. Тоді АD = СА - СВ = d і АВD - можна побудувати за двома сторонами АВ і АD і кутом між ними. Оскільки С DВ рівнобедрений, точка С лежить на серединному перпендикулярі відрізка ВD. Тепер зрозуміло, як побудувати АВС:
а) будуємо кут А, рівний даному (задача 2);
б) на сторонах кута А відкладаємо відрізки АВ = с та АВ = d;
в) проводимо серединний перпендикуляр відрізка ВD (задача 4). Точка С лежить на перетині цього перпендикуляра з прямою А D . Доведемо, що трикутник АВС шуканий. Дійсно, АВ = с, кут А дорівнює даному куту за побудовою. Оскільки СВD рівнобедрений, то СА - СВ = СА - СD = d то різниця сторін СА і СВ дорівнює даному відрізку d.
Зауваження. Легко помітити, що така побудова можлива не при будь-яких даних, а тільки при d < с, тобто АС-ВС< АВ. У цьому випадку задача має єдиний розв'язок, оскільки серединний перпендикуляр ВD перетинає промінь АD в єдиній точці С.
Ми розглянули випадок, коли даний кут А є меншим з двох кутів, що. прилягають до сторони АВ. А якщо цей кут буде більшим з двох прилеглих до сторони АВ, то відрізок ВD = d треба відкласти на промені, доповняльному до променя ВС. Точка С знаходиться на перетині променя DВ і серединного перпендикуляра відрізка АD. Розв'язання можливе лише при d < с.
Етапи розв'язання задач на побудову:
1) аналіз: припускаємо, що задачу розв'язано і шукаємо (на рисунку) деякі особливості побудованої фігури, які б дали змогу звести задачу до простіших побудов;
2) побудова: задається послідовність простих побудов(кроків);
3) доведення: доводиться, що побудована таким чином фігура задовольняє всі умови задачі;
4) дослідження: з'ясовується, при яких даних можлива побудова, скільки розв'язків має задача тощо. В простих задачах, звичайно, можна обійтись без аналізу, а зразу дати алгоритм побудов. Крім того, ми вважаємо дослідження не обов'язковим і, як правило, не будемо його проводити.
При розв'язуванні задач на побудову іноді використовують ГМТ (геометричне місце точок) Наведемо кілька з них.:
1. ГМТ., віддалених на відстань К від даної точки О, є коло (О, К).
2. ГМТ., рівновіддалених від точок А і В, є серединний перпендикуляр відрізка АВ.
3. ГМТ., рівновіддалених від сторін даного кута, є бісектриса цього кута(маємо на увазі внутрішні точки кута).
Метод г. м. т. при розв'язуванні задач на побудову полягає. і, тому, що будуємо кілька ГМТ, перетином яких є шукана точка .
Задача 7. Дано пряму а і точку А поза цією прямою. Знайти точку віддалену на однакову відстань d від прямої а і даної точки А.
Побудова. .ГМТ, віддалених на відстань d від точки А. - це коло (А, d). ГМТ, віддалених на відстань d від даної прямої а, - це пара паралельних прямих в і с. Відстань від кожної з цих прямих до заданої прямої а дорівнює d. Дістаємо дві точки перетину цих двох ГМТ: В і С, тобто в даному випадку є два розв'язки.
8. - Побудувати трикутник за стороною і медіаною, проведеною до цієї сторони, та радіусом описаного
кола.
Побудова. Нехай (О, R.) - це коло даного радіуса R. Візьмемо на цьому колі довільну точку А. проведемо коло 1 (А, АВ)(АВ - дана сторона, В - точка перетину кіл та 1, О - середина відрізка АВ). Оскільки дано медіану m, проведену до сторони АВ, то точка С(третя вершина трикутника АВС) віддалена від точки В на відстань m. Отже, точка С лежить на колі (В, m). Проводимо це коло. Воно перетинає коло в точках С1 і С2. Відповідно до цього маємо два розв'язки: трикутники АВСІ та АВС2.
Задачі на побудову прямокутних трикутників
Задача
|
Розв'язування:
1) Побудуємо дві прямі (a і b), що перетинаються під заданим кутом. Точку їх перетину позначимо А.
b |
a |
A |
2) Побудуємо пряму с, яка паралельна прямій а і проходить на відстані h від неї (h - висота, опущена на гіпотенузу). Точку перетину прямих b і с позначимо В. Побудуємо пряму d, перпендикулярну до прямої b, що проходить через точку В.
b |
a |
A |
с |
В |
Точку перетину прямих d і а позначимо С. ∆АВС - шуканий.
b |
a |
A |
с |
В |
d |
Задача 10. Побудуйте прямокутний трикутник за гострим кутом і медіаною, проведеною до гіпотенузи.
А |
С |
|
В |
D |
Розв'язування:
Медіана BD прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи дорівнює її половині: BD=1/2*АС. Таким чином, ∆ABD і ∆CBD - рівнобедрені: AD=BD; CD=BD.
1) Побудуємо дві прямі (a і b), що перетинаються під заданим кутом. Точку їх перетину позначимо А.
b |
a |
A |
2) Відкладемо на прямій b відрізки AD і CD, що дорівнюють заданій медіані. Проведемо циркулем коло з центром у точці D і радіусом, що дорівнює заданій медіані. Це коло перетинає пряму а у двох точках, однією з яких є точка А. Сполучивши В і С одержимо шуканий ∆АВС.
b |
a |
A |
С |
D |
B |
Задача 11. Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою і висотою, опущеною на цю гіпотенузу.
Розв'язування:
При побудові використаємо те, що медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює половині цієї гіпотенузи.
•1) Поділимо задану гіпотенузу (АВ на рисунку) пополам і позначимо її середину D.
А |
В |
D |
•2) Побудуємо коло з центром у точці D і радіусом AD.
D |
B |
A |
•3) Побудуємо пряму а, що паралельна гіпотенузі АВ і проходить на відстані h від неї (h - задана висота).
D |
B |
A |
С |
а |
Сполучивши точки А, В і С одержимо шуканий трикутник. Взагалі пряма а перетинає коло у двох точках (крім випадку коли ця пряма торкається кола). Тоді ∆АВС буде давати шуканий розв'язок.
