Що нового на сайтіФотографіїЛічильникФорумФайловий архівСторінки
Сергій Петрович Негода
Що нового на сайті
Про мене
Фотографії
Файловий архів
Блог
Форум
Сторінки
Чат
Лічильник
Клієнти
Мітки
Опитування
Цікаві сайти

Відвідувачі

Календар
<
Квітень 2014
>
ПнВтСрЧтПтСбНд
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
282930

Підписка
E-mail: 

Топ коментаторів
sxz Сергій Петрович Негода
Коментрі: 874

Інші сайти
denischaban Denis Chaban
okamor Неизвестный Неизвестный
kurdarecords kurda records
mykycei Unknown Unknown
bugsbunny12 Micle Zayats

Повернутися на головнуСергій Петрович Негода / Сторінки / Гурток "Геометрія трикутника" / Планування факультативного курсу "Геометрія трикутника" заняття 18 - 23

Планування факультативного курсу "Геометрія трикутника" заняття 18 - 23

0.00 (0)

  Планування факультативного курсу 

"Геометрія трикутника

заняття 18 - 23

18 година

Доведення властивостей прямокутного трикутника. У прямокутному трикутнику сума гострих кутів рівна 900. Рівнобедрений прямокутний трикутник має рівні гострі кути по 450. У прямокутному трикутнику напроти кута 300 лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи. Площа прямокутного трикутника рівна половині добутку  його катетів. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи рівна половині гіпотенузи. У прямокутному трикутнику кут між бісектрисами гострих кутів рівний 1350. У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута навпіл. У прямокутному трикутнику висота, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два прямокутних трикутники, у яких рівні кути.

Зразки задач:

1. Медіани прямокутного трикутника, проведені до катета і гіпотенузи, відповідно дорівнюють 4  і 10см. Знайдіть другий катет трикутника.

A

C

E

B

D

O

Розв'язування:

ВЕ=4 см. і CD=10см. - медіани. Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, тому АВ=2*CD=20см.

Нехай ЕС=х (тоді АС=2х) і ВС=у.

За теоремою Піфагора (∆AВC і ∆EВC)

Розв'язавши цю систему рівнянь, одержимо х=8см. і у=12см. (ВС=у=12см.).

Відповідь: 12см.

2. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 13см. Знайдіть катети, якщо периметр трикутника дорівнює 60см.

А

С

 

В

D

Розв'язування:

Медіана CD прямокутного трикутника АВС, проведена до гіпотенузи, дорівнює АВ, отже АВ=2*CD=26см.

Нехай ВС=х. Тоді АС=Р-АВ-ВС=60-26-х=34-х, де Р=60см.- периметр трикутника. За теоремою Піфагора  АС2+ВС2=АВ2; або (34-х)22=262; → 1156-68х+2х2=676; → 2х2-68х+480=0; → х2-34х+240=0; → х1=10см., х2=24см.

Перший корінь дає ВС=10см. і АС=24см., а другий - ВС=24см. і АС=10см.

Відповідь: 10 і 24см.

3. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 15см., а катети відносяться, як 3:4. Знайдіть катети трикутника.

Розв'язування:

Медіана CD, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, отже АВ=2*CD=2*15=30см.

Нехай ВС=3х і АС=4х (тоді ВС:АС=3:4). За теоремою Піфагора АС2+ВС2=АВ2; або (4х)2+(3х)2=302; → 16х2+9х2=900; → 25х2=900; х2=36; → х=6см.; ВС=3х=18см. АС=4х=24см.

Відповідь: 18 і 24см.

4. З вершини прямого кута прямокутного трикутника до гіпотенузи проведено медіану та висоту, довжини яких відповідно дорівнюють 25 і 24см. Обчисліть периметр трикутника.

А

С

 

В

D

Е

Розв'язування:

CD=24см. - висота, СЕ=25см. - медіана.

Медіана проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, отже АВ=2*СЕ=50см. Трикутники АВС і CDB - подібні за ознакою рівності трикутників ( , а кут В - спільний).

З цього слідує ВС:АВ=СD: АС; ВС*АС=АВ*CD=24*50=1200.

Нехай ВС=х. Тоді за теоремою Піфагора

Підставивши цей вираз для АС у попереднє співвідношення, одержимо → х2*(2500-х2)=12002; → х4-2500х2+1440000=0;

Зробимо заміну у=х2: у2-2500у+1440000=0; → у1=900; у2=1600; → х1= =30см.; х2= =40см. Перший корінь дає ВС=30см. і АС=40см., а другий - ВС=40см. і ВС=30см.

Периметр дорівнює АВ+ВС+АС=50+40+30=120см.

Відповідь: 120см.

5. З вершини прямого кута прямокутного трикутника до гіпотенузи проведено висоту і медіану, відстань між основами яких дорівнює 7см. Обчисліть периметр цього трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 50см.

Розв'язування:

CD - висота, СЕ - медіана; ED=7см., АВ=50см - гіпотенуза.

Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині: СЕ=1/2*АВ=25см.

За теоремою Піфагора для ∆CDE

CD2=CE2-ED2=252-72=576; → CD=24см.

Трикутники АВС і CDB - подібні за ознакою рівності трикутників ( , а кут В - спільний).

З цього слідує ВС:АВ=СD: АС; ВС*АС=АВ*CD=24*50=1200.

Нехай ВС=х. Тоді за теоремою Піфагора

Підставивши цей вираз для АС у попереднє співвідношення, одержимо → х2*(2500-х2)=12002; → х4-2500х2+1440000=0;

Зробимо заміну у=х2: у2-2500у+1440000=0; → у1=900; у2=1600; → х1= =30см.; х2= =40см. Перший корінь дає ВС=30см. і АС=40см., а другий - ВС=40см. і ВС=30см.

Периметр дорівнює АВ+ВС+АС=50+40+30=120см.

Відповідь: 120см.

 

6. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 12 см. Знайдіть медіани трикутника, проведені до цих катетів.

A

C

E

B

D

O

Розв'язування:

ВС=6см, АС=12 см.

За теоремою Піфагора для ∆ADC і ∆BCE

=

=

Відповідь: 12 і 21см.

7. Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнюють 12  і 30см. Знайдіть медіани трикутника, проведені до цього катета і гіпотенузи.

A

C

E

B

D

 

Розв'язування:

 

АВ=30см., АС=6 см.

Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, отже CD=1/2*AB=15см.

За теоремою Піфагора

BС2 = AВ2 - АC2=302-(6 )2=432.

Ще раз застосуємо теорему Піфагора, але вже до прямокутного трикутника СВЕ:

BЕ2C2 +CЕ2=ВС2+(АС/2)2=432+(3 )2=549; → ВЕ= =3 .

Відповідь: 15 і 3 см.

8. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 18 і 32см. Обчисліть довжину відрізків, на які ділить цю висоту бісектриса більшого гострого кута трикутника.

B

A

C

D

O

 

Розв'язування:

CD=18см. AD=32см.

ADВ і ∆АBC - подібні ( ADB= ABC=90º, a A - спільний). Аналогічно будуть подібними ∆ВDC і ∆АВC, з чого слідує, що

ADВ ~ ∆BDC:  AD:BD=BD:CD, BD2=AD*CD=32*18=576+324=900; → BD=24см.

Розглянемо прямокутнійBCD. За теоремою Піфагора  BС2 = BD2 + CD2=242+182=576+324=900; → BC=30см.

Бісектриса СО ділить сторону BD трикутника BCD у відношенні OB:OD=BC:CD; → OB:OD=30:18; OB:OD=5:3.

Нехай ОВ=5х і OD=3х (тоді виконується приведена вище пропорція). Це дає BD=OB+OD=5х+3х=8х. В той же час BD=24см., тому 8х=24; → х=3см.; ОВ=5х=15см.; OD=3х=9см.

Відповідь: 15 і 9см.

9. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить висоту, опущену на гіпотенузу, на відрізки 15 і 9см. Обчисліть довжину відрізків, на які ділить ця висота гіпотенузу трикутника.

Розв'язування:

ОВ=15см., OD=9см.

BD=OB+OD=15+9=24см.

Бісектриса СО ділить сторону BD трикутника BDC у відношенні

OB:OD=BC:CD; → BC:CD=15:9; → BC:CD=5:3.

Нехай ВС=5х і CD=3х (тоді виконується приведена вище пропорція). Застосуємо теорему Піфагора до  ∆ВDC: BC2=CD2+BD2; або (5х)2=(3х)2+242; → 25х2=9х2+576; → 16х2=576; →х2=36; → х=6см.; ВС=5х=30см., CD=3х=18см.

AВC і ∆ВDC - подібні ( AВС= BDC=90º, a С - спільний), тому АС:ВС=ВС:СD; → AC= ; AD=AC-CD=50-18=32см.

Відповідь: 18 і 32см.

10. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 66 і 88см. Обчисліть довжину відрізків, на які бісектриса більшого гострого кута ділить медіану, проведену до гіпотенузи трикутника.

A

C

E

B

D

 

O

Розв'язування:

АС=66см, ВС=88см, О - точка перетину медіани CD з бісектрисою АЕ.

За теоремою Піфагора АВ2=АС2+ВС2=662+882=12100; → АВ=110см.

Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині:

CD=AD=1/2*AB=55см.

Бісектриса АО ділить сторону CD трикутника ACD у відношенні OD:OC=AD:AC; OD:OC=55:66; → OD:OC=5:6; → OD=5/6*OC; OD+OC=CD; → 5/6*OC+OC=55; → 11/6*OC=55; → OC=55*6/11=30см; OD=5/6*OC=25см.

Відповідь: 25 і 30см.

11. Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 104 і 130см. Обчисліть довжину відрізків, на які бісектриса меншого гострого кута ділить медіану, проведену до гіпотенузи трикутника.

A

C

E

B

D

O

Розв'язування:

ВС=104см, АВ=130см, О - точка перетину медіани CD з бісектрисою ВЕ.

Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині:

Бісектриса ВО ділить сторону CD трикутника ВCD у відношенні CDD=1/2*AB=65см.

 OD:OCDC; OD:OC=65:104; → OD:OC=5:8; → OD=5/8*OC; OD+OC=CD; → 5/8*OC+OC=65; → 13/8*OC=65; → OC=65*8/13=40см; OD=5/8*OC=25см. Відповідь: 25 і 40см.

 

19   година

Доведення властивостей прямокутного трикутника. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена з прямого кута розділяє трикутник його на два необов'язково рівних рівнобедрених трикутники..  У прямокутному трикутнику кут між медіаною та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює різниці гострих кутів трикутника.  У прямокутному трикутнику кут між медіаною та бісектрисою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника.  У прямокутному трикутнику кут між бісектрисою та висотою, що проведені з вершини прямого кута дорівнює піврізниці гострих кутів трикутника. У прямокутному трикутнику центр описаного кола  лежить в центрі гіпотенузи, а радіус цього кола дорівнює  половині гіпотенузи.

Моніторинг  знань учнів:

1.Якщо АВС рівносторонній, то:

  1)5 АВ-5ВС = ?...,     2)0,5 АВ +1,5 ВС -2AC = ...?   3) 1,5 АВ +1,5 ВС -3AC = ...?

2. Кут між катетом а і гіпотенузою с рівнобедреного прямокутного трикутника АВС обчислю­ється за властивістю ...                       і  дорівнює ...

3. У трикутнику, вершини якого лежать у точках А (1; 1), B(1; 4), С(5; 4) довжини сторін дорівнюють: АВ = ... , ВС = ... , АС = ... , і цей трикутник є ... (гострокут­ним, тупокутним, прямокутним).

Використовуючи теорему ...,   можна зажди довести , що трикутник прямокутний.

4. Знайти  діагоналі  ромба, з гострим кутом 60  та стороною 10 см.

 5. Теорему синусів записують так:  ... Знайдіть у трикутнику АВС сторону АВ, якщо кут С = 60  , кут В =30 , а сторона СА= 10 см.

6. Якщо сторони трикутника а = 10, b = 10іс = 16, то його

а) найменшу висоту обчислюємо за формулою . .. і дорівнює....

б)кути обчислюються за формулами. і дорівнюють ...

7. У трикутнику АВС   С = 90°, СD , СD = = 6,72 м, а менший катет АС =10м. З АСD  знаходимо sin А = ... ? _А= • • • , _В = • • • , АВ = • • •.

8. Якщо в рівнобедреному трикутнику висота більша від основи в 1,5 раза, то:

1)вона ж більше від половини основи в ... рази

2)тангенс кута при основі дорівнює ..., а сам кут дорівнює ...

3) кут при вершині тоді дорівнює ...

  9. Радіус вписаного в квадрат АВСD кола r = 1 см, а його діагональ дорівнює .... см. Знайти катети та площу прямокутного трикутника АВС.

10. Дано прямокутний AВС,  а = 24; b = 7; с = 25. В =? =?   Який вид трикутника ?

11.Теорему косинусів записуємо формулою ... Знайти у трикутника АВС сторону АВ,  якщо                        кут С = 30  ,  а СВ= 2 см, СА= 2 см.

 

20  година

Доведення властивостей прямокутного трикутника. У прямокутному трикутнику центр вписаного кола  лежить в точці перетину двох бісектрис, а радіус цього кола дорівнює  половині сумі катетів без гіпотенузи. У прямокутному трикутнику квадрат висоти, що проведена до гіпотенузи,  рівний добутку проекцій катетів на гіпотенузу. У прямокутному трикутнику квадрат катета рівний добутку довжини проекції цього катета на гіпотенузу на довжину гіпотенузи. У прямокутному трикутнику точка перетину висот  лежить у вершині прямого кута. У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів. У прямокутному трикутнику площа кола побудованого на гіпотенузі, як на діаметрі, дорівнює сумі площ кіл, що побудовані на його катетах, як на діаметрах. Контроль знань, умінь та навичок учнів.

Зразки задач:

1. Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відносяться, як 4:5, а бісектриса одного з гострих кутів ділить другий катет на відрізки, різниця між якими 2см. Обчисліть периметр трикутника.

Розв'язування:

ВС:АВ=4:5, АDD=2см.

Бісектриса ВD ділить катет у відношенні СDDCB; → СDD=4:5. Нехай СD=4х і АD=5х (тоді виконується приведена вище пропорція). Це дає нам АDD=2см.; → 5х-4х=2см.; → х=2см.;

AС=ADD=5х+4х=9х=18см.

Тепер нехай ВС=4у і АВ=5у (щоб виконувалася приведена в умові пропорція).

За теоремою Піфагора  АВ2=ВС2+АС2;  або (5у)2=(4у)2+182; → 25у2=16у2+324; → у=6см.

ВС=4у=24см.; АВ=5у=30см.

Периметр трикутника дорівнює АВ+ВС+АС=30+24+18=72см.

Відповідь: 72см

2. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 75 і 100см. Обчисліть довжину відрізків гіпотенузи, на які її ділить висота, проведена до неї.

A

D

B

C

E

 

Розв'язування:

CD - висота, СЕ - бісектриса; ЕВ=75см., АЕ=100см.

 

Введемо х так, що АС=4х і ВС=3х (тоді виконується приведена вище пропорція). За теоремою Піфагора АС2+ВС2=АВ2; або (4х)2+(3х)2=(10+75)2, → 16х2+9х2=1752, → х2=1225; → х=35см.

Таким чином, катети трикутника АВС дорівнюють АС=4х=140см., ВС=3х=105см., а гіпотенуза АВ=АЕ+ЕВ=175см.

Трикутники АВС і СDВ - подібні за другою ознакою подібності трикутників ( , а кут В - спільний).

З цього слідує АВ:ВС=BС:DB; DВ=

АD=AB-DВ=175-63=112см.

Відповідь: 63 і 112см.

 

3. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 63 і 112см. Обчисліть довжину відрізків гіпотенузи, на які її ділить бісектриса прямого кута.

Розв'язування:

CD - висота, СЕ - бісектриса; AD=112см., DB=63см.

Трикутники АВС і СDВ - подібні за другою ознакою подібності трикутників ( , а кут В - спільний).

З цього слідує АВ:ВС=BС:DB; → Аналогічно із подібності трикутників АВС та ACD одержимо АС=140см.

 

ЕВ=3/4*АЕ. Підставивши цей вираз в АЕ+ЕВ=АВ одержимо АЕ+3/4*АЕ=112+63; → 7/3*АЕ=175; → АЕ=100см.; ЕВ=3/4*АЕ=75см.

Відповідь: 100 і 75см.

4. Кут між бісектрисою і висотою прямокутного трикутника, які проведені з вершини прямого кута, дорівнює 15º. Обчисліть кути трикутника.

 

А

С

 

В

D

Е

Розв'язування:

CD - висота, СЕ - бісектриса, ECD=15º, ACB=90º. BCE=45º(половина прямого кута АСВ); BCD= BCE- ECD=45º-15º=30º; ABC= DBC=180º- BCD- BDC=180º-30º-90º=60º BCD; BAC=180º- ABC- ACB=180º-60º-90º=30º.

Відповідь: 60º,30º і 90º.

5. Кут між бісектрисою і медіаною прямокутного трикутника, проведеними з вершини прямого кута, дорівнює 15º. Обчисліть кути трикутника.

С

 

В

D

E

А

F

Розв'язування:

CD - медіана, СF - бісектриса, FCD=15º, ACB=90º. BCF=45º(половина прямого кута АСВ); BCD= BCF+ FCD=45º+15º=60º.

Добудуємо ∆АВС до прямокутника АСВЕ так, як показана на малюнку. Його діагоналі АВ і СЕ в точці перетину діляться пополам, тобто вони перетинаються в точці D (D є середньою відрізка АВ, так як CD - медіана ∆АВС) і СЕ=2*CD. Діагоналі прямокутника рівні між собою, тому DВ=CD, тобто ∆BCD - рівнобедрений: ABC= DBC= BCD=60º;

BAC=180º- ABC- ACB=180º-60º-90º=30º.

Відповідь: 60º,30º і 90º.

 

6. Кут між висотою і медіаною прямокутного трикутника, проведеними до гіпотенузи, дорівнює 30º. Обчисліть кути трикутника.

С

 

В

D

E

А

F

Розв'язування:

CD - медіана, СF - висота, FCD=30º, ACB=90º.

ДобудуємоАВС до прямокутника АСВЕ так, як показана на малюнку. Його діагоналі АВ і СЕ в точці перетину діляться пополам, тобто вони перетинаються в точці D (D є середньою відрізка АВ, так як CD - медіанаАВС) і СЕ=2*CD. Діагоналі прямокутника рівні між собою, тому DВ=CD, тобто ∆BCD - рівнобедрений.

Нехай АВС=  ( АВС= DBC= FBC). Тоді BCD= ; BCF= BCD- FCD= -30º.

Сума кутів прямокутного трикутника FBC дорівнює +( - 30º)+90º=180º; → 2 =120º; → =60º.

Таким чином, АВС= =60º, BAC=180º- ABC- ACB=180º-60º-90º=30º.

Відповідь: 60º,30º і 90º.

 

7. Кут між висотою і медіаною прямокутного трикутника, проведеними до гіпотенузи, дорівнює 30º. Обчисліть кут між бісектрисою і висотою, проведеними з вершини прямого кута трикутника.

С

 

В

D

E

А

F

G

Розв'язування:

CD - медіана, СG - бісектриса, CF - висота, FCD=30º, ACB=90º. BCF=45º(половина прямого кута АСВ); BCD= BCF+ FCD=45º+15º=60º.

Добудуємо ∆АВС до прямокутника АСВЕ так, як показана на малюнку. Його діагоналі АВ і СЕ в точці перетину діляться пополам, тобто вони перетинаються в точці D (D є середньою відрізка АВ, так як CD - медіана ∆АВС) і СЕ=2*CD. Діагоналі прямокутника рівні між собою, тому DВ=CD, тобто ∆BCD - рівнобедрений.

Нехай АВС=  ( АВС= DBC= FBC). Тоді BCD= ; BCF= BCD- FCD= -30º.

Сума кутів прямокутного трикутника FBC дорівнює +( - 30º)+90º=180º; → 2 =120º; → =60º.

Таким чином, ВСF= -30º=30º. Зважаючи на те, що BCG=45º (половина прямокутного трикутника АСВ), одержимо FCG= BCG- ВСF =15º.

Відповідь: 15º.

 

8. У прямокутному трикутнику з гіпотенузою 12см. кут між бісектрисою і висотою, проведеними  з вершини прямого кута, дорівнює 15º. Знайдіть катети трикутника.

А

С

 

В

D

Е

Розв'язування:

CD - висота, СЕ - бісектриса;

ECD=15º, BCE=45º(половина прямого кута АСВ); BCD= BCE- ECD=45º-15º=30º.

ABC= DBC=180º- BCD- BDC=180º-30º-90º=60º;

BC=AB*cos ABC=12*cos60º=12*1/2=6.

АС=АВ*sin ABC=12*sin60º=6 см.

Відповідь: 6 та 6см.

9. У прямокутному трикутнику більший катет дорівнює 6 см., а кут між бісектрисою і медіаною, проведеними до гіпотенузи, дорівнює 15º. Знайдіть другий катет і гіпотенузу трикутника.

С

 

В

D

E

А

F

Розв'язування:

АС=6 см., CD - медіана, СF - бісектриса;

FCD=15º, BCF=45º(половина прямого кута АСВ); BCD= BCF+ FCD=45º+15º=60º.

Добудуємо ∆АВС до прямокутника АСВЕ так, як показана на малюнку. Його діагоналі АВ і СЕ в точці перетину діляться пополам, тобто вони перетинаються в точці D (D є середньою відрізка АВ, так як CD - медіана ∆АВС) і СЕ=2*CD. Діагоналі прямокутника рівні між собою, тому DВ=CD, тобто ∆BCD - рівнобедрений.

ABC= DBC= BCD=60º;

BC=AB*cos ABC=12*cos60º=6см.

Відповідь: 6 та 12см.

10. Бісектриса прямого кута  прямокутного трикутника ділить гіпотенузу у відношенні 3:4. Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо його периметр дорівнює 84см.

А

С

 

D

B

Розв'язування:

Р = 84см. - периметр трикутника, AD:BD= 3:4.

Бісектриса CD ділить гіпотенузу у відношенні AD:BD = AC:BC; →AC:BC = 3:4.

Нехай AC = 3x і BC = 4х (тоді виконується приведена вище пропорція).

За теоремою Піфагора

AB2 = AC2 + BC2= (3х)2+(4х)2= 9х2+16х2= 25х2; →АВ=5х.

Периметр трикутника дорівнює

АВ+ВС+АС= Р; 5х+4х+3х=84; →12х=84; →х=7см.; АВ=5х=35см.

Відповідь: 35см.

11. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет у відношенні 5:4. Знайдіть інший катет трикутника, якщо його периметр дорівнює 72см.

А

С

 

В

D

Е

Розв'язування:

AD : DC = 5:4, P =72см.-периметр трикутника.

Бісектриса BD ділить катет у відношенні AD:DC=AB:BC; → AB:BC=5:4.

Нехай АВ=5х і ВС=4х (тоді виконується приведена вище пропорція). За теоремою Піфагора

AC2= AB2- BC2=(5х)2-(4х)2=9х2; → АС=3х.

Периметр трикутника дорівнює АВ+ВС+АС=Р; або 5х+4х+3х=72; →12х=72; →х=6см.; ВС=4х=24см.

Відповідь: 24см.

12. Медіани прямокутного трикутника, проведені до катетів, дорівнюють  і см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

A

C

E

B

D

O

Розв'язування:

ВЕ= см. і AD= см. - медіани.

Нехай ЕС=х і СD=y; тоді АС=2х; ВС=2у.

За теоремою Піфагора (∆ADC і ∆BEC)

Розв'язавши цю систему рівнянь, одержимо х=4см. і у=3см., що дає АС=8см. і ВС=6см.

За теоремою Піфагора (для ∆АВС)

AB2 = AC2 + BC2=82+62=64+36=100; АВ=10см.

Відповідь: 10см.

 

 

21  година

Доведення властивостей прямокутного трикутника. У прямокутному трикутнику площа квадрату побудованого на гіпотенузі, як на стороні, дорівнює сумі площ двох квадратів, що побудовані на його катетах, як на сторонах. Прямокутний трикутник можна розрізати на три тупокутних трикутники. Прямокутний трикутник можна розрізати на гострокутні трикутники. Прямокутний трикутник можна розрізати на три трапеції. Прямокутний трикутник не можна розрізати на паралелограми. Прямокутний трикутник можна розрізати на три чотирикутники, діагоналі яких перпендикулярні. У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:3, то бісектриса прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.У прямокутному трикутнику , якщо гострі кути відносяться, як 1:2, то медіана прямого кута рівна одному з катетів цього трикутника.

 

Зразки задач:

1. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 25см., а висота, опущена на неї, - 12см. Знайдіть катети трикутника.

A

D

B

C

Розв'язування:

За умовою задачі АВ=25см., CD=12см.

Нехай DВ=х (тоді АD=25-х). Застосуємо теорему Піфагора до ∆АDС і ∆СDВ: АС2D2D2=(25-х)2+122=625-50х+х2+144=769-50х+х2;

BC2=DB2-CD22+1222+1442.

Ще раз застосуємо теорему Піфагора, але вже до  ∆АВС:   АС2+ВС2=АВ2; або (769-50х+х2)+(х2+144)=252; → 2х2-50х+913=625; → 2х2-50х+288=0; → х2-25х+144=0.

Розв'язки цього рівняння - х1=9, х2=16. Перший корінь дає АС= =20см.; ВС= =15см.

Другий корінь дає АС=15см. і ВС=20см.

Відповідь: 15см. і 20см.  

2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 і 20см. Знайдіть висоту, опущену на гіпотенузу трикутника.

Розв'язування:

За умовою задачі СВ=15см., АС=20см.

За теоремою Піфагора

АВ2=АС2+СВ2=202+152=400+225=625; → АВ=25см. Трикутники АВС і АСD - подібні за ознакою подібності трикутників ( , а кут А - спільний).

З цього слідує АС:АD=АВ:АC; АD=

Відповідь: 12см.

3. Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, ділить її на відрізки 9 і 16см. Знайдіть катети трикутника.

A

D

B

C

 

Розв'язування:

DB=9см., AD=16см.

Нехай CD=х. Застосовуючи теорему Піфагора до ∆АВС, ∆ADC та ∆CDB.

Із останнього співвідношення одержимо х=12см., що дає АС=20см. і СВ=15см.

Відповідь: 20 і 15см.

4. б) Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 і 20см. Обчисліть довжину відрізків гіпотенузи, на які ділить її висота, опущена на неї.

Розв'язування:

За умовою задачі СВ=15см., АС=20см.

За теоремою Піфагора

АВ2=АС2+СВ2=202+152=400+225=625; → АВ=25см. Трикутники АВС і АСD - подібні за ознакою подібності трикутників ( , а кут А - спільний).

З цього слідує АС:АD=AB:AC; АD=

DB=AB-AD=25-16=9см.

Відповідь: 9 і 16см.

5. Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює 12см. і ділить її на відрізки, різниця між якими 7см. Обчисліть периметр трикутника.

A

D

B

C

 

Розв'язування:

DB=12см, AD-CD=7см.

ADB і ∆АВС - подібні ( , а кут А - спільний). Аналогічно будуть подібними ∆BDC i ∆АВС, з чого слідує, що ∆ADB~∆BDC:  AD:BD=BD:CD.

Нехай CD=х. Тоді AD=7+х, що дає (7+х):12=12:х; → (7+х)*х=12*12; → х2+7х-144=0; → х1=9см.; х2=-16см. Відкидаючи від'ємний корінь, одержуємо CD1=9см.; AD=7+х1=16см.;

АС=CD+AD=25см.

За теоремою Піфагора (∆ADB та  BDC)

.

Периметр трикутника АВС дорівнює АВ+ВС+АС=20+15+25=60см.

Відповідь: 60см.

6. Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює 24см. і ділить її на відрізки, які відносяться, як 9:16. Обчисліть периметр трикутника.

Розв'язування:

BD=24см., CD:AD=9:16.

ADB і ∆АВС - подібні ( , а кут А - спільний). Аналогічно будуть подібними ∆BDC i ∆АВС, з чого слідує, що ∆ADB~∆BDC:  AD:BD=BD:CD.

Нехай CD=9х і AD=16х (тоді виконується приведена в умові пропорція), що дає 16х:24=24:9х; → 16х*9х=24*24; → 144х2=576; → х2=4; → х=2см.; CD=9х=18см.; AD=16х=32см.; AC=CD+AD=50см.

За теоремою Піфагора (∆ABD і ∆ВСD)

Периметр трикутника АВС дорівнює

АВ+ВС+АС=40+30+50=120см.

Відповідь: 120см.

7. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 36см., а різниця між катетами - 3см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

А

С

 

В

Розв'язування:

Нехай ВС=х - менший із катетів. Тоді другий катет, АС, дорівнює х+3, а гіпотенуза АВ=(Р-ВС*АС)=33-2х, де Р - периметр трикутника АВС.

За теоремою Піфагора АВ2=ВС2+АС2; або (33-2х)22+(х+3)2; → х2-69х+540=0; → х1=9см., х2=60см. Другий корінь дає АВ=-87см., тому його треба відкинути (довжина не може бути від'ємною). Перший корінь дає АВ=15см.

Відповідь: 15см.

8. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 36см., а різниця між гіпотенузою і одним із катетів - 3см. Знайдіть другий катет трикутника.

Розв'язування:

Нехай АС=х. Тоді гіпотенуза АВ=х+3, а другий катет дорівнює ВС=(Р-АС=АВ)=33-2х, де Р - периметр трикутника АВС.

За теоремою Піфагора

АВ2=ВС2+АС2; або (х+3)2=(33-2х)22; → 2х2+69х+540=0; → х1=12см., х2=22,5см. Другий корінь дає ВС=33-2х=-12см., тому його треба відкинути (довжина не може бути від'ємною). Перший корінь дає ВС=9см.

Відповідь: 9см.

 

9. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 20 і 15см. Знайдіть катети трикутника.

А

С

 

В

D

Розв'язування:

Нехай CD - бісектриса трикутника АВС.

.

Введемо х так, що АС=4х і ВС=3х (тоді виконується приведена вище пропорція).

За теоремою Піфагора АС2+ВС2=АВ2; або (4х)2+(3х)2=(20+15)2, → 16х2+9х2=352, → х2=49; → х=7см.

Таким чином, катети трикутника АВС дорівнюють АС=4х=28см., ВС=3х=21см.

Відповідь: 21 і 28см.

10. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить один з катетів на відрізки 8 і 10см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

В

А

С

 

D

Розв'язування:

Нехай CD - бісектриса трикутника АВС.

.

Введемо х так, що АВ=4х і АС=3х (тоді виконується приведена вище пропорція).

За теоремою Піфагора АВ2-АС2=ВС2; або (5х)2-(4х)2=(10+8)2, → 25х2-16х2=182, → х2=36; → х=6см.

 АВ=5х=30см.

Відповідь: 30см.

 

11. Катети прямокутного трикутника відносяться, як 3:4, а бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки, різниця між якими 5см. Обчисліть периметр трикутника.

А

С

 

В

D

Розв'язування:

АС:ВС=3:4, BD-AD=5см.

Бісектриса CD ділить гіпотенузу у відношенні AD:BD=AC:BC; → AD:BD=3:4. Нехай AD=3х і BD=4х (тоді виконується приведена вище пропорція). Це дає нам BD-AD=5см.; → 4х-3х=5см.; → х=5см.;

AB=AD+BD=3х+4х=7х=35см.

Тепер нехай АС=3у і ВС=4у (щоб виконувалася приведена в умові пропорція).

За теоремою Піфагора  АС2+ВС2=АВ2;  або (3у)2+(4у)2=352; → 9у2+16у2=225; → у=7см.

АС=3у=21см.; ВС=4у=28см.

Периметр трикутника дорівнює АВ+ВС+АС=35+28+21=84см.

Відповідь: 84см.

22  година

Доведення властивостей прямокутного трикутника. У прямокутному трикутнику, якщо висота, проведена на гіпотенузу, ділить її на відрізки, різниця яких рівна одному з катетів трикутника, то гострі кути відносяться, як 1:2. У прямокутному трикутнику, якщо сторони утворюють арифметичну прогресію, то різниця цієї прогресії рівна радіусу вписаного в цей трикутник кола. Висота, що виходить з вершини прямого кута трикутника, рівна добутку катетів, поділеному на гіпотенузу. Відношення проекцій катетів на гіпотенузу дорівнює відношенню квадратів катетів. Якщо сторона трикутника являється діаметром його описаного кола, то протилежний їй кут - прямий, тобто трикутник прямокутний.  Якщо квадрат найдовшої сторони трикутника рівний сумі квадратів двох інших сторін цього трикутника, то трикутник прямокутний. Теорема Гіппократа: Сума площ „місяців", що лежать між дугою напівкола, яке побудоване на гіпотенузі як на діаметрі, і дугами кіл, що побудовані на катетах як на діаметрах, дорівнює площі даного трикутника.

 

Зразки задач:

1. Різниця між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника дорівнює 5 см., а другий катет - 15 см. Обчисліть периметр трикутника.

Розв'язування:

За умовою задачі АВ-АС=5; АВ=АС+5.

За теоремою Піфагора АВ2=АС2+ВС2;  або (АС+5)2=АС2+152; →10*АС+25=225; → 10*АС=200; →АС=20см.; АВ=АС+5=25см.

Периметр трикутника дорівнює АВ+ВС+АС=25+15+20=60см.

Відповідь: 60см.

2. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 60 см., а катети відносяться,  як 3:4. Знайдіть гіпотенузу.

А

С

 

В

Розв'язування:

За умовою задачі ВС:АС=3:4;   ВС=3/4*АС.

Нехай АС=х. Тоді ВС=3/4*х. Периметр трикутника дорівнює Р=60см., звідки АВ+ВС+АС=Р; → АВ+(3/4*х)+х=60; → АВ=60-7/4*х.

За теоремою Піфагора  АВ2=ВС2+АС2; або (60-7/4*х)=(3/4*х)22; → 3600-210х+49/16*х2=9/16*х22; → (49/16-9/16-1)*х2-210*х+3600=0; → 3/2*х2-210*х+3600=0; → х2-140+2400=0.

Розв'язками цього рівняння є х1=20см. та х2=120см. У першому випадку одержимо АВ=60-7/4*х=25см., а в другому АВ=-150см. Зрозуміло, що довжина гіпотенузи не може бути від'ємною, тому другий випадок відкидаємо.

Відповідь: 25см.

 

 

3. Периметр прямокутного трикутника дорівнює 60 см., а гіпотенуза і катет відносяться, як 5:3. Знайдіть другий катет трикутника.

Розв'язування:

Нехай ВС=3х, а АВ=5х. Тоді ВС:АВ=3:5, як і повинно бути за умовою задачі.

За теоремою Піфагора

АС2=АВ2-ВС2=(5х)2-(3х)2=25х2-9х2=16х2; → АС=4х. Периметр трикутника Р=АВ+ВС+АС дорівнює 60см., звідки 5х+3х+4х=60; → 12х=60; → х=5см.; АС=4х=20см.

Відповідь: АС=20см.

4. Катет прямокутного трикутника дорівнює 15 см., а медіана, проведена до другого катета, - 5 см. Обчисліть периметр трикутника.

 

 

А

 

 

 

D

Розв'язування:

У трикутнику АВС: ВС=15см.; BD=5 см. (BD-медіана).

Застосувавши теорему Піфагора до прямокутного трикутника BDC, одержимо DC2=BD2-BC2=(5 )2-152=325-225=100; → DC=10см.; АС=2*DC=20см.  (BD - медіана).

Ще раз застосуємо теорему Піфагора:

АВ2=ВС2+АС2=202+152=400+225=625; → АВ=25см.

Периметр трикутника дорівнює

АВ+ВС+АС=25+15+20=60см.

Відповідь: 60см.

5. У прямокутному трикутнику катет дорівнює 20 см., а медіана, проведена до нього, дорівнює  5 см. Обчисліть периметр трикутника.

Розв'язування:

За умовою задачі АС=20см., BD=5 см.       BD - медіана, тому CD=1/2*BD=10см.

Застосовуємо теорему Піфагора до ∆BDC: BC2=BD2-CD2=(5 )2-102=325-100=225; → ВС=15см.

Ще раз застосувавши теорему Піфагора (до ∆АВС), одержимо АВ2=АС2+ВС2=202+152=400+225=625; → АВ=25см.

Периметр трикутника дорівнює АВ+ВС+АС=25+15+20=60см.

Відповідь: 60см.

6. Катет прямокутного трикутника дорівнює 10см., а медіана, проведена до гіпотенузи, - 13см. Обчисліть периметр трикутника.

 

 

 

 

 

 

Розв'язування:

За умовою задачі ВС=10см., CD=13см., CD - медіана. Добудуємо ∆АВС до прямокутника АСВЕ так, як показана на малюнку. Його діагоналі АВ і СЕ в точці перетину діляться пополам, тобто вони перетинаються в точці D (D є середньою відрізка АВ, так як CD - медіана ∆АВС) і СЕ=2*CD. Діагоналі прямокутника рівні між собою, тому AB=CE=2*CD=26см.

За теоремою Піфагора знайдемо катет АС: АС2=АВ2-ВС2=262-102=676-100=576; → АС=24см.

Периметр трикутника АВС дорівнює

АВ+ВС+АС=26+10+24=60см.

Відповідь: 60см.

7. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 10 і 24см. Знайдіть медіану, проведену до гіпотенузи трикутника.

Розв'язування:

За теоремою Піфагора

АВ2=ВС2+АС2=242+102=576+100=676; → АВ=26см.

Добудуємо ∆АВС до прямокутника АСВЕ так, як показана на малюнку. Його діагоналі АВ і СЕ в точці перетину діляться пополам, тобто вони перетинаються в точці D (D є середньою відрізка АВ, так як CD - медіана ∆АВС) і СЕ=2*CD. Діагоналі прямокутника рівні між собою, тому CD=1/2*CE=1/2*AB=13см.

Відповідь: 13см.

 

 

23 година

Тригонометричні значення кутів трикутника.  

Тригонометричні залежності між кутами трикутника та їх доведення.

 

sin A + sin B + sin C =  4cos  cos  cos .            sin A + sin B - sin C =  4sin  sin  cos .

 

cos A + cos B + cos C =  4sin  sin  sin  + 1.      cos A + cos B - cos C =  4 cos  cos  sin  - 1

 

.    .     cos 2A + cos2 B + cos2 C =  1- 2 cos A cos B cos C

 

sin2 A + sin2 B + sin2 C =2+2 cos A cos B cos C.                  sin2 A + sin2 B - sin2 C = 2 sin A sin B  sin C

 

tg A+ tgB + tg C= tg A tg B tg C.                      ctg  + ctg + c tg  = ctg  ctg  c tg

 

tg  tg + tg  tg  + tg  tg  = 1.      ctg A ctgB + ctg A ctg C + ctg A ctg C = 1.

 

Основні  тригонометричні формули геометрії трикутника. Теореми косинусів. Теорема синусів.

 

a = 2R sin A ,      a =  ,       a =  = .    b = 2R sin B ,

 

b = ,       b =  =  .     c = 2R sin C ,

c = ,        c =  = .

 

 



Коментар: 0 Переглядів: 7098 [Історія змін] Розмір:119233 байт
Останні зміни зроблені: sxz Сергій Петрович Негода 2353 дні(в) тому 10.11.2007 19:29:46
ДодавТекст
Ім'я Пароль
розширений... ( / Реєстрація )

Тема

В тексті можна використовувати Wiki або HTML теги





Хто на сайті?
Анонімні: 6, Зареєстровані: 0 (?)

Скарга | Розміщено на MyLivePage | | Design by VladDeVille | © Kolobok smiles, Aiwan