Всекураїнська учнівська Інтернет-олімпіада
(28 грудня 2008 року м. Одеса)
Фінальний тур
8-9 клас
1. Знайти площу фігури, координати точок якої зодовольняють рівність:
/х+у-5/ + /х-у+3/+ /2х-у-4/ = у+2.
2. Розв’язати рівняння: х^4 – 7х^2 +2х +2 = /4х-1/ - /2х^2 - 3/.
3. У кожній вершині правильного восьмикутника та в його центрі поставлено одне з дев’яти чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 таким чином, що всі ці числа використані. Позначимо через С – найбільший спільний дільник чотирьох сум трійок чисел, поставлених на кожній з чотирьох діагоналей, що проходять через центр. Вкажіть всі значення, які може приймати С.
4. Група туристів за два дня пройшла чотири ділянки шляху довжиною 28, 8 км, 20 км, 16,2 км і 12, 8 км. Кожну ділянку вони проходили зі сталою швидкістю. На увесь шлях пішло 13 годин. Якщо би туристи йшли з кожною з цих сталих швидкостей по одній годині, то вони пройшли би 23,4 км. Якою була швидкість туристів на другій ділянці?
5. Нехай у прямокутному трикутнику АВС АС та ВС – катети, АС>BC. На АС взято точку Е, на ВА – точку D, так що ЕС=ВС=ВD та С DЕ = 90о. Знайти відношення сторін трикутника АВС.
Вказівки:
1. Очевидно, що /х+у-5/ + /х-у+3/+ /2х-у-4/ = (х+у-5)+ (х-у+3)+ (2х-у-4).
Тоді маємо систему нерівностей: х+у≥0, х-у+3≥0, 2х-у-4≥0, або систему нерівностей: у≥5-х, у≤ х+3, у≥2х-4.
Всі такі точки лежать в середині трикутника АВС або на його сторонах, де А(1;4); В(7;10); С(3;2).
Координати точки D(4,4).
SАВС= SАВD + SАСD= 9+3 = 12 кв.од.
Відповідь: 12 кв.од.
2. Дуже штучний спосіб заміни:
Нехай є такі заміни: z =/2х^2 -3/ , у = /4х-1/. (А ви спробуйте догадайтеся, що варто виконати саме такі заміни)
Тоді
z – у = /4х-1/ - /2х^2 - 3/ = х^4 – 7х^2 +2х +2,
а різниця квадратів z^2 – у^2:
(z + у)(z – у) = z2 – у2 = 4(х^4 – 7х^2 +2х +2) = 4(z – у),
Отже маємо справу з рівнянням:
(z + у)(z – у) = 4(z – у),
(z + у)(z – у) - 4(z – у) = 0,
(z + у- 4)(z – у) = 0,
Маємо рівняння з двома невідомими:
z + у – 4 = 0 або z – у = 0; звідси маємо модульне рівняння: z = у, тобто
4х-1 = 2х2 - 3.
Проте розв’язуватимемо не це модульне рівняння(його ви можете розв’язати і самостійно)
а розглянемо рівняння четвертого степеня з одним невідомим:
z – у = х^4 – 7х^2 +2х +2 = 0.
Для розв’язування рівняння четвертого степеня з одним невідомим використаємо спосіб розкладання на множники. А щоб розкласти на множники ліву частину рівняння, використаємо метод невизначених коефіцієнтів:
х^4 – 7х^2 +2х +2 = (х^2 + ах +с) (х^2 + кх +р) ,
В останній рівності перемножимо двочлени з параметричними коефіцієнтами в правій частині рівняння.
Далі в правій частині зведемо усі групи подібних доданків з буквеними частинами: х0 , х, х2, х3 , х4, а буквені коефіцієнти при них прирівняємо до відповідних числових коефіцієнтів многочлену, який стоїть в лівій частині рівняння при значеннях х0 , х, х2, х3 , х4. Із утвореної системи чотирьох рівнянь з чотирма невідомими отримаємо: а = -2, с = -1, к = 2; р = -2.
Отже, х^4 – 7х^2 +2х +2 = (х^2 -2х -1) (х^2 +2х -2) .
А далі через класичну формулу коренів зведеного квадратного рівняння отримаємо корені даного рівняння:
х1 = 1 + 20,5 , х2 = 1 + 20,5 , х3 = -1 + 30,5 , х4 = -1 + 30,5.
Відповідь: { 1 + 20,5, 1 + 20,5, -1 + 30,5, -1 + 30,5}.
3. Позначимо через х – цифру, яка розташована в центрі восьмикутника, а через S1 , S2, S3, S4 - суми трійок чисел, розміщених на найдовших діагоналях правильного восьмикутника. Тоді S1 +S2+ S3+ S4 = 45+3х, якщо 1 ≤ х ≤ 9. Найбільше можливе значення 45 +3х = 72. Тому найменша з сум S1 , S2, S3, S4 не може перевищувати числа 18, а тому Sі ≤ 18. Далі для кожного С ≤ 18 підібрати розташування цифр, яка дає значення сума С. Або довести, що такого розташування не існує. У кожному випадку знайти значення х, використовуючи, що 45+3х ділиться на С.
Відповідь: 1, 2,3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18.( не можуть бути такі числа: 7, 11, 13, 14, 16, 17).
4. Нехай швидкість туристів на першій, другій, третій та четвертій ділянці відповідно V1, V2, V3, V4. Тоді одночасно виконуються:
28,8 / V1 + 20 / V2+ 16,2 / V3 + 12,8 / V4 = 13 (1)
V1 +V2+V3+V4= 23,4 (2)
Помножив першу рівність на 5, другу на 25/9 складемо:
S =(144 / V1 + 25 V1 /9 ) + (100 / V2+ 25 V2 /9 ) + (81 / V3 + 25 V3 /9 ) +( 64 / V4 + 25 V4 /9) = 130 (3)
Використаємо нерівність Коші: для додатних чисел а та с виконується нерівність: 2(ас)0,5 ≤ а+ с. При цьому рівність досягається лише тоді, коли а = с. Так як S≥130.
Тоді рівність досягається тоді, коли у дужках рівності (3) рівні доданки.
144 / V1 = 25 V1 /9 , за властивістю пропорції, отримаємо V1 = 7,2 км за год.
100 / V2+ 25 V2 /9, за властивістю пропорції, отримаємо V2 = 6 км за год.
81 / V3 + 25 V3 /9, за властивістю пропорції, отримаємо V2 = 5,4 км за год.
64 / V4 + 25 V4 /9, за властивістю пропорції, отримаємо V2 = 4,8 км за год.
Відповідь: V2 = 6 км за год.
5. Нехай АВС, маємо довжини сторін АС = b, ВС = а, АВ = с. Трикутник ADC подібний до трикутник AЕD( за двома рівними кутами6 кут А спільний, а кут ADЕ рівний куту ADC).
Сума кутів ADЕ і DCА рівна прямому куту.
Нехай АЕ = х, Тоді AD/ x = b / AD . AD∙ AD = bx . Або c∙c = a∙a + b∙b.
Але а = b – x.
(b – x)∙ (b – x) + (b – x + ( bx)0,5 ).
Тому b = 4х, 3х = а, 5х = с.
Відповідь: b:а:с = 4: 3: 5.
