Що нового на сайтіФотографіїЛічильникФорумФайловий архівСторінки
Сергій Петрович Негода
Що нового на сайті
Про мене
Фотографії
Файловий архів
Блог
Форум
Сторінки
Чат
Лічильник
Клієнти
Мітки
Опитування
Цікаві сайти

Відвідувачі

Календар
<
Квітень 2014
>
ПнВтСрЧтПтСбНд
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
282930

Підписка
E-mail: 

Топ коментаторів
sxz Сергій Петрович Негода
Коментрі: 874

Інші сайти
denischaban Denis Chaban
okamor Неизвестный Неизвестный
kurdarecords kurda records
mykycei Unknown Unknown
bugsbunny12 Micle Zayats

Повернутися на головнуСергій Петрович Негода / Сторінки / Всеукраїнська Інтернет-олімпіада з математики 2011 рік 6 -11 клас / 2013 Всеукраїнська Математична інтернет олімпіада

2013 Всеукраїнська Математична інтернет олімпіада

0.00 (0)

 

Міністерство освіти і науки України

Управління освіти і науки Одеської обласної державної адміністрації

Одеський обласний інститут удосконалення вчителів

Одеський національний університет ім.. І.І.Мечникова

 

Всеукраїнська Інтернет-олімпіада з математики

І (заочний) тур 2013рік

 9 клас

Завдання виконують учні, які перейшли в 9 клас

 (також дане завдання можуть виконувати учні 6, 7, 8 класів).

Роботи учнів, які перейшли в 10-і, 11-і класи, не приймаються

 

 

  1. На одній основі побудовано множину трикутників з однаковими кутами при вершині. Знайти геометричне місце центрів кіл, вписаних у ці трикутники.
  2. За допомогою циркуля та лінійки побудувати трикутник АВС за медіаною BD і радіусами кіл, описаних навколо трикутників ABD та CBD.
  3. Показати, що кожне просте число, більше за 3, має вид 6n+1, або 6n-1, nєN.
  4. Довести, що якщо рівняння з ціліми коефіцієнтами х21х+q1 =0 і х22х+q2 =0 мають спільний корінь, то p1=p2, q1=q2.
  5. Задано систему рівнянь

*х+*у+*z=0

*х+*у+*z=0

*х+*у+*z=0

Два учня по черзі вписують замість * числа. Довести, що той, хто починає завжди може домогтися того, щоб система мала ненульовий розв’язок.

 

 Всеукраїнська Інтернет-олімпіада з математики

І (заочний) тур 2013 рік

10  клас

Завдання виконують учні, які перейшли в 10 клас

 (також дане завдання можуть виконувати учні 6, 7, 8, 9 класів)

Роботи учнів, які перейшли в 11-і класи, не приймаються

  1. Скільки розв'язків має рівняння

х10-1000={x10}?

  1. У початку координат знаходиться частинка. Через одиницю часу вона розпадається на дві частинки, одна з яких зсувається на одиницю вправо, а друга — на одиницю вліво. Скільки буде частинок через 2013 одиниць часу?
  2. Нехай a,b — довільні натуральні числа більші за 1, число a2+b-1 ділиться націло на b2+a-1. Доведіть, що число  b2+a-1 має хоча б два різні прості дільники.
  3. Дотичні до параболи у2=2рх у точках А, В та С утворюють трикутник KLM. Довести, що SKLM=1/2SABC.
  1. Нехай S множина раціональних чисел така, що

а) число 0 належить множині  S;

б) якщо х належить  S, то числа х+1 та х-1 також належать  S;

с) якщо х належить  S та не дорівнює 0 або 1, то х/(х(х-1)) належить  S.

 

Чи правда, що  S містить всі раціональні числа?



Коментар: 5 Переглядів: 1166 [Історія змін] Розмір:3949 байт
Останні зміни зроблені: sxz Сергій Петрович Негода 298 дні(в) тому 30.06.2013 11:40:45
ДодавТекст

sxz Надіслати повідомлення
Сергій Петрович Негода
318 дні(в) тому 10.06.2013 01:25:50 Цитата('127112','127112','7','1771')">Повідомити про спам

Iнтернет олiмпiада

Нове положення про Всеукраїнські учнівські інтернет-олімпіади

Лист про проведення Всеукраїнських учнівських Інтернет-олімпіад

Наказ про проведення Всеукраїнських учнівських Інтернет-олімпіад

Лист ООІУВ про проведення Всеукраїнських учнівських Інтернет-олімпіад

 Нова адреса електроної пошти для робіт: odessa-internet@ukr.net

Шановні учасники олімпіади!
Просимо звернути увагу на правила реєстрації учасників олімпіади.

  • Для того, щоб прийняти участь у олімпіаді, вам потрібно заповнити та відправити Реєстраційну форму учасника.
  • Після цього вам буде присвоєно реєстраційний номер (його ви побачите на сторінці після реєстрації та отримаєте окремим листом).
  • Після реєстрації ви можете потрапити на сторінку завантаження завдань з обраних предметів.Виконавши завдання, відправьте його за адресою: odessa-internet@ukr.net
  • При відправленні роботи на електронну адресу інституту тема листа та файл відповіді повинен містити назву предмета (українською мовою) та ваш реєстраційний номер.

 1. Перша сторінка листа повинна містити таку інформацію:

  • Реєстраційний номер (номер наданий при реєстрації)
  • Назва олімпіади
  • Прізвище, ім'я та по батькові учасника
  • Рік народження
  • Область
  • Місто (село)
  • Повна назва навчального закладу
  • Клас, до якого перейшов учень
  • Клас, за який виконується конкурсне завдання (не нижчий за той, до якого перейшов учень)
  • Статус (учень, студент)
  • Електронна адреса учасника, контактна електронна адреса

Увага! Скановані роботи до участі в Інтернет - олімпіаді не приймаються!

2. Обсяг інформації надісланої роботи не повинен перевищувати 800 Кб.

  • Коли ваша робота буде отримана, та пройде реєстрацію, вона появиться у списку отриманих робіт; вам необхідно вибрати предмет, по якому ві надійслали роботу, та натиснути "Пошук".
  • Коли роботи будуть перевірені, та оцінені, результати будуть відображені у таблиці результатів

 


---
Павло

sxz Надіслати повідомлення
Сергій Петрович Негода
318 дні(в) тому 10.06.2013 14:33:03 Цитата('127112','127112','7','1772')">Повідомити про спам

 

Розв’язання завдання Всеукраїнської Інтернет-олімпіади з математики 2013 року

 

9 клас

 

1.На одній основі побудовано множину трикутників з однаковими кутами при вершині. Знайти геометричне місце центрів кіл, вписаних у ці трикутники.

Розв’язання.  Нехай основа ВС – це відрізок, що розташований в системі координат. Положення відрізка ВС  в прямокутній системі координат не впливає на структуру та форму шуканого ГМТ. Тому розташування даного відрізка ВС обирає так, що координати  середини відрізка ВС – це початок координат О(0; 0), а кінці В(-а; 0), С(а; 0) лежать на осі абсцис, при цьому параметр а - додатне число.

Третя вершина А трикутника АВС, згідно умови задачі, – це множина точок, що лежить на колі, радіуса а, з центром в початку координат, адже усі вписані кути з вершиною А на  цьому колі, що спираються на хорду ВС, рівні між собою. Рівняння цього кола має вигляд х2 + у2 = а2. Тому точка А, що лежить у першій та другій координатних чвертях, має координати (ха; (а2 – ха2)0,5 ).  Якщо точка А  лежить у третій та четвертій координатних чвертях, тоді вона має координати (ха ; -(а2 – ха2)0,5 ).

Таким чином,  усі координати вершин трикутника АВС визначенні своїми координатами: В(-а; 0), С(а; 0), А(ха; (а2 – ха2)0,5 ).  Зрозуміло, що у випадку В(-а; 0), С(а; 0),  А(ха; - (а2 – ха2)0,5 ) – доведення проводиться аналогічно, бо шукане ГМТ – це симетрична відносно осі абсцис і відносно осі ординат фігура. Центром симетрії шуканого ГМТ буде початок координат.

Знайдемо радіус вписаного кола в трикутник АВС як функцію y = r(xa; a) від координат точок А, В, С, які в свою чергу залежать від змінних ха та а.

Скористаємося формулою r = S/p, де S – площа трикутника АВС, р – півпериметр трикутника АВС. Так як кут А – вписаний кут, що спирається на діаметр ВС, то кут А дорівнює 90о. Отже трикутник АВС – прямокутний. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів.

SАВС = 0,5\АВ\*/АС/. Знайдемо довжини сторін трикутника АВС.

ВС = 2а – гіпотенуза трикутника АВС,

АВ = ((ха + а)2 + ((а2 – ха2)0,5)2)0,5 =  (2а2 + 2аха)0,5.

 

АС = ((ха - а)2 + ((а2 – ха2)0,5)2)0,5 =  (2а2 - 2аха)0,5.

 

SАВС = 0,5АВ * АС = (2а2 + 2аха)0,5 (2а2 - 2аха)0,5 = а(а2 – ха2)0,5.

SАВС = а(а2 – ха2)0,5 – це функція від змінних ха та а.

Обчислимо півпериметр трикутника АВС.

 р = ((2а2 + 2аха)0,5 + (2а2 - 2аха)0,5 + 2а ):2

Запишемо функцію радіуса вписаного кола

y = r(xa; a)[2а(а2 – ха2)0,5]:[ (2а2 + 2аха)0,5 + (2а2 - 2аха)0,5 + 2а]

 

Таким чином, якщо вважати, що ха = х – додатне число, 0 <x< а, то

 

r(x)[2а(а2 – х 2)0,5]:[ (2а2 + 2ах )0,5 + (2а2 - 2ах )0,5 + 2а] – це функція, графіком якої в першій чверті є крива лінія L, яка нагадує частину параболи, кінці цієї кривої лежать на осях (0; r(0)) =  (0; а(2)0,5 - а) та (а; 0). 

Побудуємо геометричне місце центрів вписаних кіл в множину трикутників АВС.  Нам відомо, що це центрально-симетрична фігура.  Побудуємо  криву лінію, яка задана формулою

 r(x)[2а(а2 – х 2)0,5]:[ (2а2 + 2ах )0,5 + (2а2 - 2ах )0,5 + 2а], якщо 0 <x< а,

і розташована в першій чверті прямокутної системи координат і  симетрично відображаємо відносно прямих х = 0 в четверту координатну чверть, відносно прямих у = 0 в другу координатну чверть у = 0 та відносно початку координат в третю координатну чверть. Отримана фігура і буде відповіддю до задачі.


---
Павло

sxz Надіслати повідомлення
Сергій Петрович Негода
317 дні(в) тому 10.06.2013 14:45:23 Цитата('127112','127112','7','1773')">Повідомити про спам

3. Показати, що кожне просте число, більше за 3, має вид 6n+1, або 6n-1, nєN.

Розв’язання. Розглянемо таблицю, яка  утворює класи лишків за модулем 6.

Зверніть увагу на те, що в кожному стовпчику  наведеної таблиці знаходяться числа тільки одного класу лишків за модулем 6.

 

Z0

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

6n-6

6n-5

6n-4

6n-3

6n-2

6n-1

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

6n

6n+1

6n+2

6n+3

6n+4

6n+5

Z0

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Класи лишків за модулем 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У двох класах лишків за модулем 6, а саме

Z1(сюди входять числа вигляду 6n+1),

Z5(сюди входять числа вигляду 6n+5)

знаходяться прості числа, окрім двох простих чисел 2 та 3.

 А в класах  лишків Z0 , Z2  , Z3  , Z4 за модулем 6   можна знайти тільки складені числа, окрім  2 та 3.

 

Що і треба було довести.


---
Павло

sxz Надіслати повідомлення
Сергій Петрович Негода
317 дні(в) тому 10.06.2013 15:19:13 Цитата('127112','127112','7','1774')">Повідомити про спам

5. Задано систему рівнянь

*х+*у+*z=0

*х+*у+*z=0

*х+*у+*z=0

Два учня по черзі вписують замість * числа. Довести, що той, хто починає завжди може домогтися того, щоб система мала ненульовий розв’язок.

Доведення. Розглянемо квадратну таблицю розміром 3х3 із зірочок, які відповідають даній системі рівнянь.

*

*

*

*

*

*

*

*

*

Першим ходом гравець, що починає гру, ставить число нуль у середню клітинку(у центр симетрії квадрата), а всі наступні ходи, починаючий гравець  повторює після ходу суперника, знаходячи центрально-симетричну клітинку до тої, яку щойно заповнив суперник і записує нуль у порожню клітинку. Таким чином, на кожний хід суперника існує хід починаючого гравця. Після п’ятого ходу починаючого гравця, таблиця буде заповнена. І система матиме ненульових розв’язок.

Після заповнення усієї таблиці 3х3, відповідні числа записуються у систему рівнянь. Згідно стратегії гри починаючого гравця серед 9-ти коефіцієнтів, принаймні маємо п’ять нульових.  Один стовпчик або один рядок таблиці містить тільки нулі. Це означає, що будь-які два рівняння мають спільну множину точок, бо рівнянь 0х + 0у + 0z =0 має  розв’язком будь-яку трійку чисел. У його множині розв’язків знайдеться і множина розв’язків будь-якого іншого рівняння aх+bу+cz = 0 з ненульовими коефіцієнтами та ненульовою умовою на вираз: а2+b22.

 

 


---
Павло

Anonymous
298 дні(в) тому 30.06.2013 11:40:45 Цитата('127112','6467278','7','1980')">Повідомити про спам

знаходяться прості числа , окрім двох простих чисел 2 та 3. 

Ім'я Пароль
розширений... ( / Реєстрація )

Тема

В тексті можна використовувати Wiki або HTML теги





Хто на сайті?
Анонімні: 5, Зареєстровані: 0 (?)

Скарга | Розміщено на MyLivePage | | Design by VladDeVille | © Kolobok smiles, Aiwan