Ромби, що вписані в трикутник
Означення. Ромб називається вписаним в трикутник, якщо усі чотири вершини лежать на сторонах трикутника або на їх продовженнях.
Класифікація.
Існують по-різному вписані ромби в довільний трикутник. Деякі внутрішні області вписаних ромбів повністю належать внутрішній області трикутника, а в інших вписаних ромбах тільки частина внутрішньої області належить внутрішній області трикутника.
Побудова ромба, вписаного в трикутник.
Наводимо приклад вписаного ромба в трикутник, дві сторони якого мають спільну вершину і лежать на сторонах даного трикутника АВС з відомими сторонами а, b, с. У цьому випадку кут А ромба AKLM – рівний куту трикутника CAB. За властивістю діагоналей ромба, діагональ AL ромба співпадає з бісектрисою трикутника AL = la. Саме на цій бісектрисі, як на діагоналі ромба отримаємо вписаний ромб. Згідно властивостям бісектриси трикутника та подібності трьох трикутників АВС, LCK, MLB можна за відомим сторонами трикутника обчислити усі відрізки, що є в трикутнику АВС та сторону ромба. Звертаємо увагу на те, що кожна бісектриса трикутника визначає вписаний ромб в даний трикутник. Такі вписані ромби в трикутник назвемо бісектрально вписані ромби.
Зрозуміло, що довільний трикутник має три бісектрально вписаних ромби. Кожна сторона бісектрально вписаних ромбів в трикутник паралельна сторонам трикутника, і існує тільки один кут ромба, що суміщається з кутом трикутника.
Побудова ромба, що вписаний в трикутник
В довільний трикутник ще можна вписати ромб по-іншому, тобто, цей ромб не буде бісектрально вписаний в трикутник, і вершини його будуть лежати на сторонах трикутника. Виконаємо побудову небісектрально вписаного ромба. Накреслимо відрізок КМ. Пряма КМ розбиває площину на дві півплощині 1 та 2. Будемо вважати довжину відрізка КМ рівну стороні ромба та задамо висоту ромба h, тоді на площині відрізок МК визначає чотири рівні ромби. По одну сторону від відрізка МК(нехай це буде півплощина 1) за допомогою циркуля і лінійки побудуємо два ромба КММ2К2 і КММ1К1, а по іншу сторону від МК (це буде півплощина 2 ) задаємо вершину В трикутника АВС, у якого сторона АС лежить на прямій М1К1. Навколо цих двох ромбів можна описати безліч трикутників АnВnСn , де n – натуральне число. Для цього достатньо у півплощині 2 задавати довільну точку, як вершину Вn і з’єднувати цю точку з кінцями відрізка КМ. Перетин прямих ВnК та ВnМ з прямою М1К1 утворюють дві вершини Аn та Сn трикутника АnВnСn.
Означення. Ромб називається вписаним в трикутник, якщо усі чотири вершини лежать на сторонах трикутника або на їх продовженнях.
Класифікація.
Існують по-різному вписані ромби в довільний трикутник. Деякі внутрішні області вписаних ромбів повністю належать внутрішній області трикутника, а в інших вписаних ромбах тільки частина внутрішньої області належить внутрішній області трикутника.
Побудова ромба, вписаного в трикутник.
Наводимо приклад вписаного ромба в трикутник, дві сторони якого мають спільну вершину і лежать на сторонах даного трикутника АВС з відомими сторонами а, b, с. У цьому випадку кут А ромба AKLM – рівний куту трикутника CAB. За властивістю діагоналей ромба, діагональ AL ромба співпадає з бісектрисою трикутника AL = la. Саме на цій бісектрисі, як на діагоналі ромба отримаємо вписаний ромб. Згідно властивостям бісектриси трикутника та подібності трьох трикутників АВС, LCK, MLB можна за відомим сторонами трикутника обчислити усі відрізки, що є в трикутнику АВС та сторону ромба. Звертаємо увагу на те, що кожна бісектриса трикутника визначає вписаний ромб в даний трикутник. Такі вписані ромби в трикутник назвемо бісектрально вписані ромби.
Зрозуміло, що довільний трикутник має три бісектрально вписаних ромби. Кожна сторона бісектрально вписаних ромбів в трикутник паралельна сторонам трикутника, і існує тільки один кут ромба, що суміщається з кутом трикутника.
Побудова ромба, що вписаний в трикутник
В довільний трикутник ще можна вписати ромб по-іншому, тобто, цей ромб не буде бісектрально вписаний в трикутник, і вершини його будуть лежати на сторонах трикутника. Виконаємо побудову небісектрально вписаного ромба. Накреслимо відрізок КМ. Пряма КМ розбиває площину на дві півплощині 1 та 2. Будемо вважати довжину відрізка КМ рівну стороні ромба та задамо висоту ромба h, тоді на площині відрізок МК визначає чотири рівні ромби. По одну сторону від відрізка МК(нехай це буде півплощина 1) за допомогою циркуля і лінійки побудуємо два ромба КММ2К2 і КММ1К1, а по іншу сторону від МК (це буде півплощина 2 ) задаємо вершину В трикутника АВС, у якого сторона АС лежить на прямій М1К1. Навколо цих двох ромбів можна описати безліч трикутників АnВnСn , де n – натуральне число. Для цього достатньо у півплощині 2 задавати довільну точку, як вершину Вn і з’єднувати цю точку з кінцями відрізка КМ. Перетин прямих ВnК та ВnМ з прямою М1К1 утворюють дві вершини Аn та Сn трикутника АnВnСn.
Квадрати, що вписані в прямокутний трикутник
Означення. Квадрат називається вписаним в прямокутний трикутник, якщо усі чотири вершини лежать на сторонах прямокутного трикутника.
Класифікація. Існує два різні квадрати, що вписані в довільний прямокутний трикутник.
В одного вписаного квадрата дві вершини лежать на гіпотенузі, а в іншого вписаного квадрата одна вершина лежить на гіпотенузі.
Побудова квадратів, що вписані в прямокутний трикутник
1. Побудуємо квадрат KLMN, вписаний в прямокутний трикутник ABC , дві вершини якого лежать на гіпотенузі, використовуючи гомотетію. Для цього спочатку на катету ВС візьмемо точку V так, щоб виконувалась умова:
BV ≤ 0,5BC.
З точки V опустимо перпендикуляр на гіпотенузу АВ, отримаємо основу перепендикуляра точку Т. Тобто VТ АВ. На гіпотенузі АВ відкладемо від точки Т відрізок TS, що рівний перпендикуляру VT. На двох перпендикулярних і рівних відрізках TS i VT побудуємо квадрат VTSW. Використовуючи гомотетію з центром в точці В в напрямі прямої ВW отримає точку М, яка є точкою перетину катета СА та прямої ВW. Аналогічно скористаємося перетворенням цієї гомотетії для трьох інших точок квадрату VTSW та отримаємо квадрат KLMN, вписаний в прямокутний трикутник ABC.
2. Побудуємо квадрат KLMС, вписаний в прямокутний трикутник ABC , одна вершина якого лежить на гіпотенузі. використовуючи гомотетію. Для цього спочатку на катету АС візьмемо точку V так, щоб виконувалась умова:
СV ≤ 0,5АC.
На катеті СВ відкладемо від точки С відрізок CW, що рівний відрізку VC. Тобто VС CW. На двох перпендикулярних і рівних відрізках VС і CW побудуємо квадрат СWSV. Використовуючи гомотетію з центром в точці C в напрямі прямої CS отримає точку L, яка є точкою перетину гіпотенузи ВА та прямої CS. Аналогічно скористаємося перетворенням цієї гомотетії для трьох інших точок квадрату СWSV та отримаємо квадрат KLMС, вписаний в прямокутний трикутник ABC.
Знайдемо сторону квадрата KLMС. Розглянемо бісектрису СL, що проведена на гіпотенузу трикутника CAB і утворює з катетами трикутника CAB кути, що рівні 45.
Властивості квадратів, що вписані в прямокутний трикутник.
1. Площа вписаного квадрата, одна вершина якого лежить на гіпотенузі, строго більша, ніж площа вписаного квадрата, дві вершини якого лежить на гіпотенузі .
2. Діагональ вписаного квадрата, одна вершина якого лежить на гіпотенузі, являється бісектрисою прямого кута прямокутного трикутника.
3. Якщо тільки одна вершина вписаного квадрата лежить на гіпотенузі, то вона поділяє гіпотенузу прямокутного трикутника на відрізки: aс:(b+a) та bс:(b+a), починаючи від вершини гострого кута А.
Задача 1. Квадрат KLMN вписаний в прямокутний трикутник ABC (С = 90) з відомими катетами a, b так, що дві вершини L i M лежать на катетах ВС та СА відповідно. Знайти сторону квадрата KLMN.
