ЗАДАЧІ для передолімпійського тренажу 8-9класи

Авторські задачі Сергія Вінницького

для олімпіад з математики y 8 - 9 класі.

1. Знайти такі цілі  m  та  n, що

2008 + 2006m + n = 2007 + 2008m + n = u ² - v ²,

де u  та v  - цілі.

Розв'язання. Доведемо, що не існує таких цілих m  та  n при яких виконується умова задачі. Застосуємо метод від супротивного.

Припустимо, що такі цілі m  та  n існують. Оскільки для

цілих  u, v  має місце рівність  u² - v²=(u-v)(u+v),  і при цьому  u-v  та  u+v  або одночасно парні або одночасно непарні, то  u² - v² або не ділиться на 2, або ділиться на 4.

Тоді з умови слідує, що  u² - v² = 2008 + 2006m + n 

мають ділитись на 4, якщо n = 2к - парне число.

Це випливає з парності виразу

2008 + 2006m + 2к = u² - v² .

Проте з другої рівності випливає непарність виразу

2007 + 2008m + 2к = u² - v²,

І він не ділиться на 2, отже не ділиться на 4.

Отримали протиріччя, отже наше припущення невірні.

Відповідь: таких цілих m  та  n не існує.

2. На ринку «УРОЖАЙ» денна ціна картоплі  по відношенню  з ранковою знизилась на 12%, вечірня ціна по відношенню до денної знизилась на 5%.  Скільки відсотки становила вечірня ціна картоплі порівняно з ранковою і на скільки вона знизилась від початкової?

Розв'язання. Позначимо х% - волога вранці, y% - волога вдень, z% - волога ввечері.

Тоді (x/y)∙100% = 100% - 12% і (z/y)∙100% або 110y = 88x, 100z = 95y. Звідси (z/x)∙100= 95∙85:100% = 83,6%.  100% - 83,6% = 16,4%/

Отже, вечірня вологість 83,6% порівняно з ранком знизилась на 16,4%.

Відповідь: 83,3%; 16,4%.