sxz

Задача про випас овець на полонині

19 May 09 09:41:56 GMT

Задача про випас овець на полонині

70 овець з’їдають всю траву на полонині за 24 дні. 30 овець з’їдать всю траву на цій же полонині за 60 днів. Враховуючи те, що трава на полонині росте з постійною швидкістю, знайти скільки треба випасати овець на цій полонині, щоб трави вистачило на 96 днів літнього періоду.

Розв’язання.

Нехай а – це постійна швидкість приросту трави, а b – кількість трави що з’їдає одна вівця за весь період випасання.

Тоді маємо сиситему для двох рівнянь:

24∙а + b = 70∙24;

60∙а + b = 30∙60;

Звідси отримаємо а = 10:3, b = 1600.

Нехай n – це кількість овець, яких треба пасти на полонині усі 96 днів літнього періоду. Маємо рівняння:

96∙(10:3) + 1600 = 96∙ n;

n = 20.

Таким чином, отримаємо 20 овець, яким вистачить усією трави на полонині на 96 днів.

Відповідь: 20 овець.

Задача про випас овець на полонині

19 May 09 09:41:56 GMT

Задача про випас овець на полонині

19 May 09 09:41:56 GMT

Візуальна поезія на кругових числах

29 Jan 07 05:23:55 GMT

Візуальна поезія в числах

Сергія Вінницького

13-й калейдоскоп кругової поруки

Моїй мамі Надії

076923∙1 = 076923, 076+923 = 999 = 153+846, 153846 = 076923∙2,

076923∙3 = 230769, 230+769 = 999 = 384+615, 384615 = 076923∙5,

076923∙4 = 307692, 307+692 = 999 = 461+538, 461538 = 076923∙6,

076923∙9 = 692307, 692+307 = 999 = 538+461, 538461 = 076923∙7,

076923∙10 = 769230, 769+230 = 999 = 615+384, 615384 = 076923∙8,

28.01.2007

7-й калейдоскоп кругової поруки

Моєму тату Петру

142 857∙1 = 142857, 142+857= 999 = 571+428, 571428 = 142 857∙4.

142 857∙2 = 285714, 285+714= 999 = 714+285, 714285 = 142 857∙5

142 857∙3 = 428571, 428+571= 999 = 857+142, 857142 = 142 857∙6

28.01.2007

19-й калейдоскоп кругової поруки

Моєму діду Савці

052631578947368421∙1 = 052631578947368421

999999999 = 052631578+947368421

052631578947368421∙2 = 105263157894736842

999999999 = 105263157+894736842

052631578947368421∙3 = 578947368421052631

999999999 = 578947368+421052631

052631578947368421∙4 = 210526315789473684

999999999 = 210526315+789473684

052631578947368421∙5 = 263157894736842105

999999999 = 263157894+736842105

052631578947368421∙6 = 315789473684210526

999999999 = 315789473+684210526

052631578947368421∙7 = 368421052631578947

999999999 = 368421052+631578947

052631578947368421∙8 = 421052631578947368

999999999 = 421052631+578947368

052631578947368421∙9 = 4 73684210526315789

999999999 = 473684210+526315789

052631578947368421∙10 = 526315789473684210

999999999 = 526315789+473684210

...............................................................................................

Цікавими є кругові числа. Ці числа мають дивовижні властивості, але їх головна особливість полягає в так званій круговій послідовності. Наприклад, число 142 857,

помножене на 2, 3, 4, 5, 6 (тільки не на 7), дає добуток, який складається з цих самих цифр, але розміщених в іншому порядку, зберігаючи циклічність черги запису:

142 857∙2 = 285 714,

142 857∙3 = 428 571,

142 857∙4 = 571428.

142 857∙5 = 714285

142 857∙6 = 857142

„Розгадкою", що може привести до розкриття таємниці кругових чисел, є добуток

142 857∙7 = 999 999.

Число 142 857 є періодом числа 1:7 записаного у вигляді десяткового. Усі властивості числа 142 857 можна знайти у кожному числі, яке є періодом дробу типу 1/р, якщо цей період має (р -1) цифру, а р- просте число.

Наприклад, 1/17 =0,(0588235294117647).

Якщо період цього дробу позначити через а, то:

1∙а = 0588235294117647,

2∙а = 1176470588235294,

3∙а = 1764705882352941,

16∙а = 9411764705882352,

....................................

17∙а = 9999999999999999.

Такі самі властивості має період дробу 1/29 та 1/1913.

Повернемося до числа 142 857. Дві „половинки" числа 142 857 дають в сумі 999: 142 + 857 = 999. Таке саме відбувається з усіма круговими числами.

Задача про випас овець на полонині

19 May 09 09:41:56 GMT

Задачі на властивості парності. 6 -9 класи

20 Dec 06 04:27:56 GMT

Задачі на властивості парності. 6 -9 класи

Задача 1. Чи можна 7-кутник розрізати на паралелограми?

Вказівка. Ні не можна. Якщо опуклий многокутник можна розрізати на паралелограми, то його сторони обов’язково розбиваються на пари паралельних сторін.

Задача 2. На дошці 15х15 розставлені 15 шашок, причому їх роз¬міщено симетрично відносно діагоналі. Доведіть, що одна з шашок розташована на діагоналі.

Вказівка. Оскільки в протилежному випадку шашки розбиваються на пари симетричних, то на діагоналі обов'язково повинно стояти непарне чи¬сло шашок.

Методичні зауваження. При розв'язанні останньої задачі часто ви¬никають логічні труднощі. Це пов'язано з тим, що на діагоналі можуть бути не одна, а довільна кількість шашок. Для цієї задачі наше тверд¬ження про розбиття на пари можна формулювати таким чином: якщо з непарної кількості предметів зроблено кілька пар, то хоча б один з предметів буде без пари.

Задача 3. На дошці 25х25 розставлені 25 шашок, причому їх роз¬міщено симетрично відносно обох головних діагоналей. Доведіть, що одна з шашок стоїть у центральній клітинці.

Доведення. Спосіб від супротивного. Припустимо, що це не так. З'єднаємо ниткою шашки, симетричні підносно будь-якої з діагоналей. Після цього будемо розглядати групи шашок, сполучених нитками, як окремі "намиста". Тоді в кожному "намисті" — або дні, або чотири шашки. Значить, загальна кількість шашок має бути парною. Суперечність.

Задача 4. У кожній клітинці квадратної таблиці розміром 9х9 записано одне з чисел 1, 2,3,..., 9. При цьому, по-перше, в клітинках, симетричних відносно головної діагоналі, записано рівні числа, і по-друге, ні в якому рядку та ні в якому стовпчику немає двох рівних чисел. Доведіть, що числа на головній діагоналі є попарно рівними.

Вказівка: Оскільки одиниць 9 штук, то на головній діагоналі повинна бути хоча б одна одиниця (див. розв'язок задачі 13). Аналогічно, на головній діагоналі є двійка, трійка і т.д.

Задача 5. Чи можна розміняти 27 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю 1, 3 та 5 карбованців?
Відповідь: ні, не могло. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 27 непарних чисел непарна.

Зауваження. Розв'язання задачі 5 грунтується на простому спостереженні:
сума парної кількості непарних чисел є парною.
Узагальнення цього факту виглядає так:
парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків: якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то-і сума також є (не)парною.
Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f + q) = 2∙m
СУМА БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f – q) = 2∙m
РІЗНИЦЯ БУДЬ-ЯКОЇ КІЛЬКОСТІ ПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s = 2∙(m-s)
СУМА ПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ ПАРНА.

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) - 1
СУМА НЕПАРНОЇ КІЛЬКОСТІ НЕПАРНИХ ЧИСЕЛ ЗАВЖДИ НЕПАРНА.

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є завжди парним числом.

Задача 6. Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумеру¬вав всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?
Відповідь: ні, не могло. Вказівка. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 35 непарних чисел непарна.

Задача 7. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.

Вказівка. Серед цих чисел — парне число "мінус одиниць", а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.

Задача 8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел?
Відповідь: ні, не можна. Серед цих чисел одне (це 2) – парне, а інші непарні. Тому в рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших — парна.

Задача 9. В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки "+" та "–" так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?
Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55, і змінюючи в неї знаки, ми змінюємо весь вираз на парне число.

Зауваження. Врахуйте, що від'ємні числа також бувають парними та непарними.

Задача 10. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому пер¬шого разу він стрибнув на 1 см в якийсь бік, другого – на 2 см і так далі. Доведіть, що після 1985 стрибків він не може зупинитися там, де починав.
Вказівка. Доводиться так само, як і в задачі 20, бо сума 1 + 2 + … + 1985 непарна.

Задача 11. На дошці виписано числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Дозволя¬ється стерти з дошки будь-які два числа і замість них записати модуль їх різниці. Врешті-решт на дошці залишається одне число. Чи може воно дорівнювати нулю?
Відповідь: ні, не може. Перевірте, що при зазначених операціях парність суми всіх написаних на дошці чисел не змінюється.

Тепер пропонуємо на ваш розгляд більш складні задачі, розв'язання яких, крім парності, використовує, як правило, і деякі додаткові міркування.

Задача 12. Чи можна покрити шахматну дошку доміношками розмі¬ром 1x2 так, щоб вільними залишились тільки клітинки а1 і, h8?
Відповідь: не можна. Кожна доміношка покриває одне чорне і одне біле поле, а при викиданні полів а1 і h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

Задача 13. До 17-цифрового числа додали число, яке записано тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра суми, що отримана, є парною.

Вказівка. Розгляньте два випадки: сума першої і останньої цифр числа менша 10, і сума першої і останньої цифр числа не менш 10. Якщо припустити, що всі цифри суми непарні, то в першому випадку не може бути жодного переносу в розрядах (що, очевидно, приводить до суперечності), а в другому випадку наявність переносу при русі справа наліво або зліва направо чергується з відсутністю переносу, внаслідок чого ми одержимо, що цифра суми в дев'ятому розряді обов'язково парна.

Задача 14.. В народній дружині є 100 чоловік, і кожного вечора троє з них йдуть чергувати. Чи може після деякого часу виявитися, що кожен чергував з кожним рівно один раз?

Відповідь: ні, не може. Бо в кожному чергуванні, в якому бере участь дана людина, вона чергує з двома іншими, отже, всіх інших можна розбити на пари. Проте 99 – непарне число.

Задача 15. На прямій відмічено 45 точок, що лежать зовні відрізка АВ. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки А не дорівнює сумі відстаней від цих точок до точки В.

Вказівка. Зрозуміло, що комбінація з дев'яти одиниць раніше, ніж з дев'яти нулів, утворитися не може. Якщо ж утворилося дев'ять нулів, то в попередньому ході нулі і одиниці повинні були чергуватися, не можливо, бо їх всього непарна кількість.

Задача 16. По колу розставлено 9 чисел – 4 одиниці і 5 нулів. Кожну секунду над числами роблять таку операцію: між сусідніми числами ставлять нуль, якщо вони різні, та одиницю, якщо вони рівні. Чи можуть усі числа через деякий час стати рівними?

Вказівка. Зрозуміло, що комбінація з дев'яти одиниць раніше, ніж з дев'яти нулів, утворитися не може. Якщо ж утворилося дев'ять нулів, то в попередньому ході нулі і одиниці повинні були чергуватися, не можливо, бо їх всього непарна кількість.

Задача 17. 25 хлопчиків і 25 дівчаток сидять за круглим столом. До¬ведіть, що у когось із них обидва сусіди – хлопці.

Доведення. Проведемо наше доведення від супротивного. Пронумеруємо всіх, що сидять за столом, по порядку, починаючи з якогось місця Якщо на к-му місці сидить хлопчик, то ясно, що на (к - 2)-му і на (к + 2) му місцях сидять дівчатка. Але оскільки хлопчиків і дівчаток порівно, то і для будь-якої дівчинки, що сидить на n-му місці, вірно, що на (n – 2)-му і на (n + 2)-му місцях сидять хлопчики. Якщо ми тепер розглянемо тільки тих 25 чоловік, що сидять на "парних" місцях, то одержимо, що серед них хлопчики і дівчатка чергуються, якщо обходити стіл в якомусь напрямі. Але 25 – непарне число.

Задача 18. Равлик повзе по площині із сталою швидкістю і кожні 15 хвилин повертає під прямим кутом. Доведіть, що повернутись до початкової точки він зможе лише після цілого числа годин.

Вказівка. Зрозуміло, що кількість а дільниць, на яких равлик повз угору або вниз, рівна кількості дільниць, на яких він повз вправо або вліво.
Залишилось тільки зауважити, що а – парне.

Задача 30. Три коники-стрибунці грають на прямій в довгу лозу. Кожен раз один з них стрибає через іншого (не через обох відразу!). Чи можуть коника після 1991 стрибка опинитись на початкових місцях?

Відповідь: ні, не можуть. Позначимо коників-стрибунців через А, В і С. Назвемо розстановки коників-стрибунців АВС, ВСА і САВ (зліва направо) – правильними, а АС В, ВАС і СВА – непра¬вильними. Легко бачити, що при будь-якому стрибку тип розстановки змінюється.

Задача 31. Є 101 монета, з яких 50 фальшивих. Вага фальшивої мо¬нети відрізняється від ваги справжньої монети на 1 грам. Петро взяв одну монету і за одне зважування на терезах зі стрілкою, яка показує різницю ваги на шальках, хоче з'ясувати, чи є монета фальшивою. Чи в змозі він зробити це?
Вказівка: Треба відкласти дану монету вбік, а після цього поділити інші 100 монет на дві купки по 50 монет, і порівняти ваги цих купок. Якщо вони відрізняються на парне число грам, то монета, що цікавить нас, справжня. Якщо ж різниця ваг непарна, то монета фальшива.

Задача 32. Чи можна виписати в ряд по одному разу цифри від 1 до 9 так, щоб між одиницею та двійкою, двійкою та трійкою, … , вісімкою та дев'яткою була непарна кількість цифр?

Відповідь: ні, не можна. В противному випадку всі цифри в ряду стояли б на місцях однієї і тієї ж парності.